Έξοχη συνευθειακότητα

KARKAR · #1

: Έξοχη συνευθειακότητα.png (10.77 KiB) Προβλήθηκε 462 φορές

Από το εξωτερικό σημείο

ενός κύκλου , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα PT , PS

και χορδή

του κύκλου παράλληλη προς το

, την οποία προεκτείνουμε κατά τμήμα : SB=AS

. Αν η

τέμνει τον κύκλο στο σημείο

, δείξτε ότι τα σημεία A , Q , P

είναι συνευθειακά .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 16, 2022 12:30 pm
Έξοχη συνευθειακότητα.pngΑπό το εξωτερικό σημείο ενός κύκλου , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και χορδή

του κύκλου παράλληλη προς το , την οποία προεκτείνουμε κατά τμήμα : . Αν η

τέμνει τον κύκλο στο σημείο , δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

Έστω

το σημείο τομής της

με τον κύκλο (με $Q\ne A$ ) και $L\equiv PA\cap TS$ . Τότε με

την πολική του

ως προς τον κύκλο προκύπτει ότι η σειρά $\left( A,L,Q,P \right)$ είναι αρμονική άρα και η δέσμη T.ALQP

είναι αρμονική και με $TP\parallel AS$ προκύπτει ότι το

είναι το μέσο της

όπου $B\equiv TQ\cap AS$ και το ισοδύναμο ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Ιαν 16, 2022 12:30 pm
Έξοχη συνευθειακότητα.pngΑπό το εξωτερικό σημείο ενός κύκλου , φέρουμε τα εφαπτόμενα τμήματα και χορδή

του κύκλου παράλληλη προς το , την οποία προεκτείνουμε κατά τμήμα : . Αν η

τέμνει τον κύκλο στο σημείο , δείξτε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά .

Σε προηγούμενη ανάρτησή μου υπήρχε κενό στη λύση που έδωσα γι αυτό και τη διέγραψα.

Γράφω τη σωστή λύση

Με

κέντρο του κύκλου είναι $OT \bot TP \Rightarrow TO \bot AS \Rightarrow TA=TS$ και οι γωνίες $\omega$ είναι ίσες

Επίσης $\angle PTB= \angle \theta$ και $\angle QSP= \angle \phi$ (υπό χορδής-εφαπτόμενης) με $\angle \theta + \phi = \angle \omega$

Επομένως τα ισοσκελή τρίγωνα TAS,TPS

είναι όμοια οπότε

$\dfrac{TP}{TS}= \dfrac{TS}{AS} \Rightarrow TS^2=TP.AS=TQ.TB \Rightarrow \dfrac{TP}{TQ}= \dfrac{TB}{AS} \Rightarrow \dfrac{TP}{TQ}= \dfrac{TB}{BS}$

Συνεπώς τα τρίγωνα TPQ,TBS

είναι όμοια ,άρα $\angle TPQ= \phi$ και το ζητούμενο αποδείχτηκε

: Έξοχη συνευθειακότητα.png (34.82 KiB) Προβλήθηκε 300 φορές

Έξοχη συνευθειακότητα

Έξοχη συνευθειακότητα

Re: Έξοχη συνευθειακότητα

Re: Έξοχη συνευθειακότητα

Μέλη σε σύνδεση