Κατασκευή για όλα τα γούστα

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8368
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Κατασκευή για όλα τα γούστα

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Ιαν 14, 2022 10:43 am

1) Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC αν γνωρίζουμε την πλευρά BC = a, το ίχνος

D της εσωτερικής διχοτόμου AD και ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του \vartriangle ABC εφάπτεται σε δεδομένο κύκλο.

Εφαρμογή.

Δίδονται τα σημεία : B\left( {1,2} \right)\,,\,\,C\left( {7,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D\left( {3,\dfrac{4}{3}} \right) .

α) Δείξετε ότι τα σημεία B,C,D ανήκουν στην ίδια ευθεία.

β) Να βρείτε την κορυφή A(a,b)\,\,, με a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b φυσικούς αριθμούς , αν ξέρετε ότι:

η AD είναι εσωτερική διχοτόμος στο \vartriangle ABC και ο περιγεγραμμένος κύκλος του \vartriangle ABC εφάπτεται του κύκλου με εξίσωση :

{\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 40

Να λυθεί είτε η κατασκευή, είτε η εφαρμογή με όποιο τρόπο θέλετε για την εφαρμογή

(και τα δύο προαιρετικά )



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2198
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Κατασκευή για όλα τα γούστα

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Ιαν 15, 2022 9:51 am

Doloros έγραψε:
Παρ Ιαν 14, 2022 10:43 am
1) Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC αν γνωρίζουμε την πλευρά BC = a, το ίχνος

D της εσωτερικής διχοτόμου AD και ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος του \vartriangle ABC εφάπτεται σε δεδομένο κύκλο.

Εφαρμογή.

Δίδονται τα σημεία : B\left( {1,2} \right)\,,\,\,C\left( {7,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D\left( {3,\dfrac{4}{3}} \right) .

α) Δείξετε ότι τα σημεία B,C,D ανήκουν στην ίδια ευθεία.

β) Να βρείτε την κορυφή A(a,b)\,\,, με a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b φυσικούς αριθμούς , αν ξέρετε ότι:

η AD είναι εσωτερική διχοτόμος στο \vartriangle ABC και ο περιγεγραμμένος κύκλος του \vartriangle ABC εφάπτεται του κύκλου με εξίσωση :

{\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 40

Να λυθεί είτε η κατασκευή, είτε η εφαρμογή με όποιο τρόπο θέλετε για την εφαρμογή

(και τα δύο προαιρετικά )
Για το πρώτο ερώτημα

Είναι \dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{D'B}{D'C},όπου AD'\perp AD η

σταθερότητα του λόγου ισχύει γιατί δόθηκαν το BC=a και το σημείο D

οπότε ο πράσινος κύκλος είναι Απολλώνιος και κινείται το σημείο A

Ο κόκκινος κύκλος εφάπτεται στον περιγγεγραμένο κύκλο του τριγώνου ABC

Αρα κατασκευάζουμε τυχαίο κύκλο ,μπλέ που διέρχεται απο τα σταθερά σημεία B,C


και τέμνει τον κόκκινο κύκλο στα σημεία G,J δηλαδή εχουμε την ευθεία GJ

ριζικό άξονα των (K),(L) και BCριζικός άξονας των (L),(O)

Οπότε το σημείο T τομής των δυο ριζικών αξόνων ορίζει το ριζικό κέντρο και είναι γνωστό ότι η εφαπτόμένη του κόκκινου κύκλου στο E διέρχεται από το σημείο T

Αρα η εφαπτομένη από το γνωστό σημείο T στον δοθέντα κόκκινο κύκλο ορίζει το σημείο E και του πράσινου ώς ο κύκλος που διέρχεται απο τα σημεία B,C,E κατασκευάζεται

Τελικά η κορυφή A ορίζεται ως η τομή των γεωμετρικών τόπων του πράσινου και μπλέ κύκλου δηλαδή του Απολλώνιου κύκλου και του περιγγεγραμμένου στο τρίγωνο ABC

ΥΓ Νίκο καλημέρα μέχρι εδώ το γούστο μου.........θα βρώ χρόνο για το δευτερο ερώτημα αλλα οι πολλές πράξεις με απωθούν. Πιθανον να χρειάζονται λίγες συμπληρώσεις αργότερα
Συνημμένα
Κατασκευή για όλα τα γούστα.png
Κατασκευή για όλα τα γούστα.png (114.62 KiB) Προβλήθηκε 58 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11173
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή για όλα τα γούστα

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Ιαν 15, 2022 7:26 pm

Doloros έγραψε:
Παρ Ιαν 14, 2022 10:43 am

Δίδονται τα σημεία : B\left( {1,2} \right)\,,\,\,C\left( {7,0} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D\left( {3,\dfrac{4}{3}} \right) .

α) Δείξετε ότι τα σημεία B,C,D ανήκουν στην ίδια ευθεία.

β) Να βρείτε την κορυφή A(a,b)\,\,, με a\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b φυσικούς αριθμούς , αν ξέρετε ότι:

η AD είναι εσωτερική διχοτόμος στο \vartriangle ABC και ο περιγεγραμμένος κύκλος του \vartriangle ABC εφάπτεται του κύκλου με εξίσωση :

{\left( {x - 13} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 40
Δεν κάνω όλη τη λύση. Επιβεβαιώνω απλώς το σημείο A(3,4).
Για όλα τα γούστα.Φ.png
Για όλα τα γούστα.Φ.png (21.81 KiB) Προβλήθηκε 29 φορές
α) \displaystyle \overrightarrow {DC}  = \left( {4, - \frac{4}{3}} \right) = 2\left( {2, - \frac{2}{3}} \right) = 2\overrightarrow {BD} , άρα τα B,C,D είναι συνευθειακά.

β) Θα δείξω ότι η κορυφή A(3,4) ικανοποιεί όλες τις προϋποθέσεις της άσκησης.

\displaystyle  \bullet \displaystyle \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{2\sqrt 2 }}{{4\sqrt 2 }} = \frac{1}{2} = \frac{{BD}}{{DC}}, οπότε η AD είναι διχοτόμος.

\displaystyle  \bullet Εύκολα διαπιστώνω ότι το ABC είναι ορθογώνιο και το περίκεντρό του είναι το μέσο M της BC, άρα η εξίσωση του

περίκυκλού του είναι \displaystyle {(x - 4)^2} + {(y - 1)^2} = 10. Λύνοντας τώρα το σύστημα με την εξίσωση του δοσμένου κύκλου,

βρίσκω μοναδική λύση x=7, y=2, δηλαδή οι δύο κύκλοι εφάπτονται στο S(7,2).


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης