Συνευθειακότητα από τομές εφαπτομένων και πλευρών μεσοτριγώνου
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Συνευθειακότητα από τομές εφαπτομένων και πλευρών μεσοτριγώνου
Έστω τρίγωνο και ο εγγεγραμμένος του κύκλος και τα μέσα των πλευρών του αντίστοιχα. Αν είναι το σημείο τομής της δεύτερης εφαπτομένης (εκτός της ) από το στον με την και ομοίως ορίσουμε τα , να δείξετε ότι είναι συνευθειακά
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Συνευθειακότητα από τομές εφαπτομένων και πλευρών μεσοτριγώνου
Το τρίγωνο είναι το σεβιανό τρίγωνο του βαρύκεντρου του δοσμένου τριγώνου .ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Πέμ Δεκ 02, 2021 11:55 amΈστω τρίγωνο και ο εγγεγραμμένος του κύκλος και τα μέσα των πλευρών του αντίστοιχα. Αν είναι το σημείο τομής της δεύτερης εφαπτομένης (εκτός της ) από το στον με την και ομοίως ορίσουμε τα , να δείξετε ότι είναι συνευθειακά
Η απόδειξη που ακολουθεί αφορά στο ως το σεβιανό τρίγωνο τυχόντος σημείου στο εσωτερικό του και έχουν αλλάξει κάποιοι συμβολισμοί, για ( δική μου ) ευκολία, με αναδιατύπωση της εκφώνησης.
Δίνεται τρίγωνο και έστω , τα σημεία επαφής του έγκυκλου στις πλευρές του , αντιστοίχως. Έστω , το σεβιανό τρίγωνο τυχόντος σημείου στο εωτερικό του και ας είναι , τα δεύτερα σημεία επαφής των εφαπτομένων του κύκλου , από τα σημεία , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά.
Έστω τα σημεία και και .
Θεωρούμε το περιγεγραμμένο κυρτό πεντάγωνο , ως το εκφυλισμένο εξάγωνο και σύμφωνα με το Θεώρημα Brianchon, έχουμε ότι
Σύμφωνα με το παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι οι ευθείες συντρέχουν και άρα, η ευθεία περνάει από το σημείο .
Θεωρούμε τώρα, το μη κυρτό παρεγγεγραμμένο πεντάγωνο , ως το εκφυλισμένο εξάγωνο και σύμφωνα πάλι με το Θεώρημα Brianchon, έχουμε ότι οι ευθείες συντρέχουν και άρα, η ευθεία περνάει από το σημείο . Έχουμε διαμορφώσει έτσι, τα προοπτικά τρίγωνα με και σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, προκύπτει ότι τα σημεία και και το σημείο τομής των ευθειών , ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Συμπεραίνεται έτσι, ότι η ευθεία περνάει από το σημείο με και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. Δίνεται τρίγωνο και έστω , τα σημεία επαφής του έγκυκλου στις πλευρές του , αντιστοίχως. Έστω , το σεβιανό τρίγωνο τυχόντος σημείου στο εσωτερικό του και ας είναι , τα δεύτερα σημεία επαφής των εφαπτομένων του από τα σημεία , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι , όπου .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου για το ως άνω Λήμμα.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Τετ Δεκ 15, 2021 10:39 pm, έχει επεξεργασθεί 7 φορές συνολικά.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Συνευθειακότητα από τομές εφαπτομένων και πλευρών μεσοτριγώνου
Θεωρούμε το περιγεγραμένο κυρτό πεντάγωνο , ως το εκφυλισμένο εξάγωνο και σύμφωνα με το Θεώρημα Brianchon, έχουμε ότιvittasko έγραψε: ↑Τετ Δεκ 15, 2021 4:36 pmΛΗΜΜΑ. Δίνεται τρίγωνο και έστω , τα σημεία επαφής του έγκυκλου στις πλευρές του , αντιστοίχως. Έστω , το σεβιανό τρίγωνο τυχόντος σημείου στο εσωτερικό του και ας είναι , τα δεύτερα σημεία επαφής των εφαπτομένων του από τα σημεία , αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι , όπου .
Ομοίως θεωρούμε το ίδιο πεντάγωνο, ως το εκφυλισμένο εξάγωνο και έχουμε ότι
Έστω το σημείο και από το πλήρες τετράπλευρο έχουμε ότι η σημειοσειρά , είναι αρμονική.
Θεωρούμε τώρα, το πλήρες τετράπλευρο και λόγω της ως άνω αρμονικής σγημειοσειράς, συμπεραίνεται ότι η ευθεία περνάει από το σημείο , ως το αρμονικό συζυγές του ως προς τα σημεία και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Ιάσων Κωνσταντόπουλος και 3 επισκέπτες