Ισοσκελές από ισοτομικό

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4357
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Ισοσκελές από ισοτομικό

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Τετ Δεκ 01, 2021 12:00 pm

Ισοσκελές από ισοτομικό.png
Ισοσκελές από ισοτομικό.png (35.77 KiB) Προβλήθηκε 164 φορές
Έστω D,F τα σημεία επαφής του έγκυκλου \left( I \right) ορθογωνίου στο A τριγώνου \vartriangle ABC. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο \vartriangle A{F}'E είναι ισοσκελές , όπου E το σημείο τομής της FD με το ύψος AH και {F}' το ισοτομικό του F \left( AF=B{F}' \right)


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11194
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισοσκελές από ισοτομικό

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Δεκ 02, 2021 7:35 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τετ Δεκ 01, 2021 12:00 pm
Ισοσκελές από ισοτομικό.png
Έστω D,F τα σημεία επαφής του έγκυκλου \left( I \right) ορθογωνίου στο A τριγώνου \vartriangle ABC. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο \vartriangle A{F}'E είναι ισοσκελές , όπου E το σημείο τομής της FD με το ύψος AH και {F}' το ισοτομικό του F \left( AF=B{F}' \right)
Είναι \displaystyle AF = r = \frac{{b + c - a}}{2},AF' = BF = BD = c - r = \frac{{a + c - b}}{2}.

Αρκεί να δείξω ότι \displaystyle AE = \frac{{a + c - b}}{2}.
Ισοσκελές από ισοτομικό.png
Ισοσκελές από ισοτομικό.png (15.5 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές
Θεώρημα Μενελάου στο τρίγωνο ABH με διατέμνουσα \displaystyle \overline {FED} :

\displaystyle \frac{r}{{c - r}} \cdot \frac{{c - r}}{{HD}} \cdot \frac{{EH}}{{AE}} = 1 \Leftrightarrow \frac{r}{{c - r - BH}} = \frac{{AE}}{{EH}} \Leftrightarrow \frac{r}{{r + c - r - \frac{{{c^2}}}{a}}} = \frac{{AE}}{h} \Leftrightarrow

\displaystyle \frac{r}{{ac - {c^2}}} = \frac{{AE}}{{bc}} \Leftrightarrow AE = \frac{{br}}{{a - c}} = \frac{{b(b + c - a)}}{{2(a - c)}} = \frac{{{b^2} - b(a - c)}}{{2(a - c)}} = \frac{{{a^2} - {c^2} - b(a - c)}}{{2(a - c)}}

Επομένως, \displaystyle AE = \frac{{a + c - b}}{2} και το ζητούμενο αποδείχτηκε.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4357
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Ισοσκελές από ισοτομικό

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Πέμ Δεκ 02, 2021 8:23 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Τετ Δεκ 01, 2021 12:00 pm
Ισοσκελές από ισοτομικό.png
Έστω D,F τα σημεία επαφής του έγκυκλου \left( I \right) ορθογωνίου στο A τριγώνου \vartriangle ABC. Να δειχθεί ότι το τρίγωνο \vartriangle A{F}'E είναι ισοσκελές , όπου E το σημείο τομής της FD με το ύψος AH και {F}' το ισοτομικό του F \left( AF=B{F}' \right)
Ισοσκελές από ισοτομικό 1.png
Ισοσκελές από ισοτομικό 1.png (41.05 KiB) Προβλήθηκε 103 φορές
Να ευχαριστήσω τον Γιώργο για την ενασχόληση με το θέμα και ας δούμε μια διαφορετική αντιμετώπιση εκμεταλλευόμενοι γωνιακά το ορθογώνιο τρίγωνο και το ύψος του παρακάμπτοντας και το Μενέλαο.

Έστω Z\equiv BI\cap AC . Τότε τα τρίγωνα \vartriangle FAE,\vartriangle ZCB είναι όμοια (έχουν δύο γωνίες με κάθετες πλευρές του ίδιου προσανατολισμού και συνεπώς \dfrac{AE}{BC}=\dfrac{AF}{CZ}\Rightarrow AE=a\cdot \dfrac{\tau -a}{\dfrac{ab}{a+c}}=\dfrac{\left( b+c-a \right)}{2b}\cdot \left( a+c \right)=\dfrac{b\cdot \left( a+c \right)+{{c}^{2}}-{{a}^{2}}}{2b}
=\dfrac{b\cdot \left( a+c \right)-{{b}^{2}}}{2b}=\dfrac{a+c-b}{2}=\tau -b=BF=A{F}' και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Φανης Θεοφανιδης και 2 επισκέπτες