Μεγάλες κατασκευές 68

[KARKAR]

Μεγάλες κατασκευές 68.png (9.09 KiB) Προβλήθηκε 382 φορές

Σε ημικύκλιο διαμέτρου , σχεδιάσαμε μια χορδή . Εντοπίστε σημείο της χορδής

τέτοιο ώστε τα τμήματα : , να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

[ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ]

Μεγάλες κατασκευές 68.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , σχεδιάσαμε μια χορδή . Εντοπίστε σημείο της χορδής

τέτοιο ώστε τα τμήματα : , να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Τα σημεία τομής της με το ημικύκλιο διαμέτρου με το μέσο της (αν βέβαια υπάρχουν ) και θα υπάρχουν (έστω και αν ταυτίζονται αν ) ή καλλίτερα όταν

[Doloros]

Κατασκευή

Από το σημείο , συμμετρικό του ως προς το φέρνω παράλληλη στην και τέμνει το ημικύκλιο στο .

Η τέμνει την στο .

Μεγάλες κατασκευές 68_κατασκευή.png (16.84 KiB) Προβλήθηκε 347 φορές

Απόδειξη .

Θέτω : . Από τη δύναμη του σημείου ( ή με όμοια τρίγωνα) έχω,

Το πρόβλημα έχει 2,1 ή καμιά λύση εφ’ όσον η από το παράλληλη στην , τέμνει εφάπτεται ή δεν έχει κοινό σημείο με το ημικύκλιο

[george visvikis]

Μεγάλες κατασκευές 68.pngΣε ημικύκλιο διαμέτρου , σχεδιάσαμε μια χορδή . Εντοπίστε σημείο της χορδής

τέτοιο ώστε τα τμήματα : , να είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου .

Αρκεί να εντοπίσω σημείο του ημικυκλίου ώστε το να είναι μέσο του

Μεγάλες κατασκευές 68.png (17.88 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές

Κατασκευή: Με κέντρο το κέντρο του ημικυκλίου και ακτίνα γράφω κύκλο που τέμνει την στο

Η τέμνει το ημικύκλιο στο και η την στο ζητούμενο σημείο

Απόδειξη: Πράγματι το είναι εκ κατασκευής βαρύκεντρο του τριγώνου άρα το μέσο του

Διερεύνηση: Το πρόβλημα έχει λύσεις αν η δεν τέμνει, εφάπτεται ή τέμνει αντίστοιχα τον κύκλο

Δηλαδή, αν το απόστημα της χορδής είναι μεγαλύτερο, ίσο ή μικρότερο του

[KARKAR]

Το θέμα είχε την τιμή να λάβει λύσεις από τους τρεις Ιεράρχες . Η μία καλύτερη της άλλης

Εντυπωσιακότερη εκείνη του Στάθη ( αλλά "αντικανονική" ) . Βάζω πάντως το σχήμα :

Μεγάλες κατασκευές 68.png (13.85 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές