Υπολογισμός τμήματος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8372
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Υπολογισμός τμήματος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Νοέμ 28, 2021 2:00 pm

Σκληρός υπολογισμός.png
Σκληρός υπολογισμός.png (15.27 KiB) Προβλήθηκε 228 φορές
Σε ημικύκλιο διαμέτρου KL από σημείο O της προέκτασής του προς το L φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα OA = a.

Έστω και σημείο B του τόξου \overset{\frown}{AK} για το οποίο OB = b. Αν C η προβολή του A στη διάμετρο , έστω AC = c.

Να υπολογίσετε το μήκος BC = x από τα a,b,c.

Προαιρετικά: δώστε ένα παράδειγμα που τα a,b,c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x, έχουν μήκη ακέραια.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 11175
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Υπολογισμός τμήματος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Νοέμ 28, 2021 7:27 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Νοέμ 28, 2021 2:00 pm
Σκληρός υπολογισμός.png
Σε ημικύκλιο διαμέτρου KL από σημείο O της προέκτασής του προς το L φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα OA = a.

Έστω και σημείο B του τόξου \overset{\frown}{AK} για το οποίο OB = b. Αν C η προβολή του A στη διάμετρο , έστω AC = c.

Να υπολογίσετε το μήκος BC = x από τα a,b,c.

Προαιρετικά: δώστε ένα παράδειγμα που τα a,b,c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x, έχουν μήκη ακέραια.
Υπολογισμός τμήματος.Φ.png
Υπολογισμός τμήματος.Φ.png (21.17 KiB) Προβλήθηκε 183 φορές
x=\dfrac{bc}{a}.

Η λύση μου είναι πολύπλοκη. Ψάχνω για κάτι ευκολότερο.


Άβαταρ μέλους
ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4350
Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
Τοποθεσία: Βρυξέλλες

Re: Υπολογισμός τμήματος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ » Κυρ Νοέμ 28, 2021 8:14 pm

Doloros έγραψε:
Κυρ Νοέμ 28, 2021 2:00 pm
Σκληρός υπολογισμός.png
Σε ημικύκλιο διαμέτρου KL από σημείο O της προέκτασής του προς το L φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα OA = a.

Έστω και σημείο B του τόξου \overset{\frown}{AK} για το οποίο OB = b. Αν C η προβολή του A στη διάμετρο , έστω AC = c.

Να υπολογίσετε το μήκος BC = x από τα a,b,c.

Προαιρετικά: δώστε ένα παράδειγμα που τα a,b,c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x, έχουν μήκη ακέραια.
Στο σχήμα του Νίκου
Προφανώς η AC είναι η πολική του O ως προς τον κύκλο και συνεπώς η σειρά \left( K,C,L,O \right) είναι αρμονική, άρα και οι δέσμες B.KCLO,A.KCLO είναι αρμονικές με τα ζεύγη των ακτινών τους \left( BK,BL \right) και \left( AK,AL \right) να είναι κάθετα μεταξύ τους (από το ημικύκλιο) οπότε οι BL,AL είναι οι εσωτερικές διχοτόμοι των τριγώνων \vartriangle BCO,\vartriangle ACO αντίστοιχα (οι τέταρτες ακτίνες είναι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών των εν λόγω τριγώνων και συνεπώς από το Θεώρημα της εσωτερική διχοτόμου έχουμε\dfrac{BC}{BO}\overset{\vartriangle BCO}{\mathop{=}}\,\dfrac{CL}{LO}\overset{\vartriangle ACO}{\mathop{=}}\,\dfrac{AC}{AO}\Rightarrow \dfrac{x}{b}=\dfrac{c}{a}\Rightarrow x=\dfrac{bc}{a}

Πάρτε για το προαιρετικό : a=5,b=10,c=4\Rightarrow x=8


Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8372
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Υπολογισμός τμήματος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Νοέμ 29, 2021 12:08 pm

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε:
Κυρ Νοέμ 28, 2021 8:14 pm
Doloros έγραψε:
Κυρ Νοέμ 28, 2021 2:00 pm
Σκληρός υπολογισμός.png
Σε ημικύκλιο διαμέτρου KL από σημείο O της προέκτασής του προς το L φέρνω το εφαπτόμενο τμήμα OA = a.

Έστω και σημείο B του τόξου \overset{\frown}{AK} για το οποίο OB = b. Αν C η προβολή του A στη διάμετρο , έστω AC = c.

Να υπολογίσετε το μήκος BC = x από τα a,b,c.

Προαιρετικά: δώστε ένα παράδειγμα που τα a,b,c\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x, έχουν μήκη ακέραια.
Στο σχήμα του Νίκου
Προφανώς η AC είναι η πολική του O ως προς τον κύκλο και συνεπώς η σειρά \left( K,C,L,O \right) είναι αρμονική, άρα και οι δέσμες B.KCLO,A.KCLO είναι αρμονικές με τα ζεύγη των ακτινών τους \left( BK,BL \right) και \left( AK,AL \right) να είναι κάθετα μεταξύ τους (από το ημικύκλιο) οπότε οι BL,AL είναι οι εσωτερικές διχοτόμοι των τριγώνων \vartriangle BCO,\vartriangle ACO αντίστοιχα (οι τέταρτες ακτίνες είναι διχοτόμοι των εξωτερικών γωνιών των εν λόγω τριγώνων και συνεπώς από το Θεώρημα της εσωτερική διχοτόμου έχουμε\dfrac{BC}{BO}\overset{\vartriangle BCO}{\mathop{=}}\,\dfrac{CL}{LO}\overset{\vartriangle ACO}{\mathop{=}}\,\dfrac{AC}{AO}\Rightarrow \dfrac{x}{b}=\dfrac{c}{a}\Rightarrow x=\dfrac{bc}{a}

Πάρτε για το προαιρετικό : a=5,b=10,c=4\Rightarrow x=8
:clap2:

Αναμενόμενη η λύση του Στάθη . Η μη χρησιμοποίηση της αρμονικότητας καθιστά τον υπολογισμό "σκληρό" .

Υπάρχει κι άλλη διχοτόμηση γωνίας αλλά εδώ συμφέρει η λύση του Στάθη ( που επανήλθε και μάλιστα δριμύτερος στον "πρότερον βίον" , εφαρμόζοντας την λαϊκή ρήση της Κρήτης: Για τις καινούργιες στράτες την παλιά μην την ανεγυρίζεις )


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης