ΙΜ κάθετη στην DHc
Συντονιστές: vittasko, silouan, rek2
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
ΙΜ κάθετη στην DHc
Έστω τα σημεία επαφής του έγκυκλου κέντρου με τις πλευρές αντίστοιχα τριγώνου . Να δειχθεί ότι , όπου το ορθόκεντρο του τριγώνου και το μέσο της
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Λέξεις Κλειδιά:
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: ΙΜ κάθετη στην DHc
Επαναφορά
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: ΙΜ κάθετη στην DHc
Έστω , οι προβολές των σημείων , επί των ευθειών αντιστοίχως και είναι γνωστό ότι τα σημεία αυτά ανήκουν στην ευθεία .ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 22, 2021 6:18 pmΈστω τα σημεία επαφής του έγκυκλου κέντρου με τις πλευρές αντίστοιχα τριγώνου . Να δειχθεί ότι , όπου το ορθόκεντρο του τριγώνου και το μέσο της
Έστω το σημείο και ας είναι , το σημείο τομής των , αντί του της εκφώνησης.
Σύμφωνα με τι παρακάτω Λήμμα, έχουμε ότι και ας είναι , το μέσον του και άρα έχουμε
Τα τρίγωνα τώρα, έχουν τις πλευρές τους κάθετες μία προς μία και άρα, οι ευθείες , ως οι ομόλογες διάμεσοι αυτών των τριγώνων είναι κάθετες μεταξύ των.
Ισχύει δηλαδή
Από και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
ΛΗΜΜΑ. Δίνεται τρίγωνο και έστω τα ύψη του και το ορθόκεντρό του. Η δια του σημείου κάθετη ευθεία επί την , επανατέμνει τον περίκυκλο έστω του τριγώνου , στο σημείο . Αποδείξτε ότι , όπου .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Θα βάλω αργότερα την απόδειξη που έχω υπόψη μου, για το ως άνω Λήμμα.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: ΙΜ κάθετη στην DHc
Από και , συμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, προκύπτει άμεσα ότι ισχύει και το Λήμμα έχει αποδειχθεί.
Κώστας Βήττας.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: ΙΜ κάθετη στην DHc
Ας δούμε και μια άλλη προσέγγιση στηριγμένη σε ένα «χορό κύκλων».ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 22, 2021 6:18 pmIM κάθετη στην DHc.png
Έστω τα σημεία επαφής του έγκυκλου κέντρου με τις πλευρές αντίστοιχα τριγώνου . Να δειχθεί ότι , όπου το ορθόκεντρο του τριγώνου και το μέσο της
Έστω τα σημεία τομής των με τις αντίστοιχα.
Τότε τα τρίγωνα είναι ισοσκελή (τα ύψη τους είναι και αντίστοιχοι διχοτόμοι άρα και μεσοκάθετες ) οπότε και τα είναι ισοσκελή και με (κάθετες πλευρές του ίδιου προσανατολισμού) θα είναι και όμοια. Με προκύπτει ότι το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο, οπότε εγγράψιμο σε κύκλο, οπότε με .
Αλλά με τα μέσα των αντίστοιχα προκύπτει ότι εγγράψιμο σε κύκλο και συνεπώς
Με εγγράψιμο σε κύκλο , οπότε και συνεπώς το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο οπότε και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: ΙΜ κάθετη στην DHc
Ας δούμε και μια διαφορετική ("μετρική") αντιμετώπιση του προβλήματοςΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 22, 2021 6:18 pmIM κάθετη στην DHc.png
Έστω τα σημεία επαφής του έγκυκλου κέντρου με τις πλευρές αντίστοιχα τριγώνου . Να δειχθεί ότι , όπου το ορθόκεντρο του τριγώνου και το μέσο της
Θεωρώ για ευκολία και ας είναι και ας είναι η ορθή προβολή του στην .
Θεωρούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας ότι για το τρίγωνο (προς αποφυγήν των απολύτων τιμών) .
Όπως αναφέρεται και στην προηγούμενη ανάρτηση προφανώς (από την ταύτιση ύψους και διχοτόμου) τα τρίγωνα είναι ισοσκελή και συνεπώς οπότε
Από τον νόμο των συνημιτόνων (με βάσει τις πιο πάνω ισότητες ) στο ισοσκελές τρίγωνο και από η γίνεται Από
Από το Θ. Μενελάου στο τρίγωνο με διατέμνουσα την θα έχουμε:
Από
Και
Από την σύμφωνα με το Stathis Koutras Theorem θα είναι και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: KDORTSI και 10 επισκέπτες