Τομή κύκλων σε ευθεία

#1

: Τομή κύκλων σε ευθεία.png (22.57 KiB) Προβλήθηκε 683 φορές

Έστω τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου τριγώνου $\vartriangle ABC$ με τις πλευρές του αντίστοιχα και ας είναι $\left( I \right)\cap AD=G,G\ne D$ , με τον εγγεγραμμένο κύκλο . Να δειχθεί ότι το δεύτερο (εκτός του ) σημείο τομής των περίκυκλων των τριγώνων $\vartriangle GDC,\vartriangle DEM$ ανήκει στην , με το μέσο της

#2

Επαναφορά

giannisd · #3

Καλή χρονιά στο

!

Λίγη θεωρία πρώτα, που δεν νομίζω ότι είναι τόσο γνωστή για να παραλειφθεί.
Αν έχουμε δύο κύκλους $\gamma$ και $\omega$ και

σημείο του επιπέδου, τότε η συνάρτηση $f(X) = pow(X, \gamma) - pow(X, \omega)$ είναι γραμμική, όπου pow(X, c) = XO^2 - R^2

η δύναμη σημείου, με

το κέντρο του κύκλου

και

την ακτίνα του. Η απόδειξη είναι απλώς πράξεις (φεύγουν οι όροι υψωμένοι στο τετράγωνο από τις εξισώσεις των κύκλων και μένουν μόνο γραμμικοί όροι).

Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι για ένα σημείο της ευθείας

, έστω

, όπου $t=\dfrac{AC}{AB}$ (προσανατολισμένος λόγος), ισχύει f(C)=(1-t)f(A)+tf(B)

.

Στην άσκηση τώρα.
Έστω $\gamma$ ο (CDG)

και $\omega$ ο (DEM)

και $f(X) = pow(X, \gamma) - pow(X, \omega)$ . Τότε θέλουμε να αποδείξουμε ότι f(F)=0

, οπότε το

θα ανήκει στον ριζικό άξονα των κύκλων που είναι και το ζητούμενο.

Το

ανήκει στον ριζικό άξονα του $\gamma$ και του εγγεγραμμένου κύκλου και ο $\omega$ τέμνει το

στο μέσο του

(πράγματι

, δηλαδή το DEML

είναι ισοσκελές τραπέζιο, οπότε $L\in \omega$ ).

Επομένως, αν

η ημιπερίμετρος:
$\displaystyle pow(A, \gamma) = pow(A, (I)) = AF^2 = (s-a)^2$
$\displaystyle pow(A, \omega) = AE \cdot AM = (s-a)\left(s-a+\dfrac{1}{2}(s-c)\right) =(s-a)^2+ \dfrac{1}{2}(s-a)(s-c)$
$\displaystyle pow(B, \gamma) = BD\cdot BC = a(s-b)$
$\displaystyle pow(B, \omega) = BD\cdot BL =(s-b)\left(s-b+\dfrac{1}{2}(s-c)\right)= \dfrac{1}{2}(s-b)(s+a-b)$

Άρα $f(A) = -\dfrac{1}{2}(s-a)(s-c)$ και $f(B)=\dfrac{1}{2}(s-b)(s-c)$ . Τότε
$\displaystyle f(F) = \dfrac{CB}{AB}f(A) + \dfrac{AC}{AB}f(B) = \dfrac{s-b}{c}f(A) + \dfrac{s-a}{c}f(B)=0$
οπότε τελειώσαμε $\blacksquare$ .

(Επίσης για χάρη της αναζήτησης η τεχνική λέγεται "γραμμικότητα της δύναμης σημείου".)

Τομή κύκλων σε ευθεία

Τομή κύκλων σε ευθεία

Re: Τομή κύκλων σε ευθεία

Re: Τομή κύκλων σε ευθεία

Μέλη σε σύνδεση