mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 26, 2021 1:30 am**

: Μια ώριμη γωνία.png (17.37 KiB) Προβλήθηκε 1047 φορές

Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC,A=90°

Να βρείτε την έγχρωμη γωνία

Κανένας περιορισμός στις λύσεις .

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 26, 2021 9:12 am**

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 26, 2021 1:30 am
Μια ώριμη γωνία.png

Στο ορθογώνιο τρίγωνο Να βρείτε την έγχρωμη γωνία

Κανένας περιορισμός στις λύσεις .

: Μια γωνία.png (12.19 KiB) Προβλήθηκε 1024 φορές

Από Πυθαγόρειο Θεώρημα στο $\vartriangle ABC$ προκύπτει $BC=17\Rightarrow BD=2$
Αν

είναι το ύψος του τριγώνου $\vartriangle ABC$ από $BC\cdot AF=AB\cdot AC\Rightarrow AF=\dfrac{8\cdot 15}{17}:\left( 1 \right)$
Από $A{{B}^{2}}=BF\cdot BC\Rightarrow BF=\dfrac{64}{17}$ οπότε $DF=\dfrac{64}{17}-2=\dfrac{30}{17}$ και $FE=8-\dfrac{64}{17}=\dfrac{72}{17}$
Από $\dfrac{BD}{DF}=\dfrac{2}{\dfrac{30}{17}}=\dfrac{17}{15}$ και $\dfrac{AB}{AF}=\dfrac{8}{\frac{8\cdot 15}{17}}=\dfrac{17}{15}=\dfrac{BD}{DF}$ από το αντίστροφο του θεωρήματος της εσωτερικής διχοτόμου στο τρίγωνο $\vartriangle ABF$ προκύπτει ότι

διχοτόμος της γωνίας του $\angle BAF$ και ομοίως προκύπτει ότι

διχοτόμος της γωνίας $\angle FAC$ οπότε $\angle \theta =\dfrac{{{90}^{0}}}{2}={{45}^{0}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 26, 2021 9:22 am**

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 26, 2021 1:30 am
Μια ώριμη γωνία.png

Στο ορθογώνιο τρίγωνο Να βρείτε την έγχρωμη γωνία

Κανένας περιορισμός στις λύσεις .

Τα τρίγωνα ABE, ADC

είναι ισοσκελή, άρα:

: Μια γωνία.png (11.86 KiB) Προβλήθηκε 1022 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \varphi + \theta = 90^\circ - \dfrac{{\widehat B}}{2}\\ \\ \omega + \theta = 90^\circ - \dfrac{{\widehat C}}{2} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{\varphi + \theta + \omega = 90^\circ } 90^\circ + \theta = 180^\circ - 45^\circ \Leftrightarrow$ $\boxed{\theta=45^\circ}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 26, 2021 10:07 am**

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 26, 2021 1:30 am
Μια ώριμη γωνία.png

Στο ορθογώνιο τρίγωνο Να βρείτε την έγχρωμη γωνία

Κανένας περιορισμός στις λύσεις .

Η απόδειξη του Γιώργου είναι βέβαια όλα τα λεφτά

. Ας δούμε και κάτι διαφορετικότερο έτσι για να υπάρχει μιας και ο Νίκος δεν έβαλε περιορισμούς στη λύση

: Μια γωνία.png (17.55 KiB) Προβλήθηκε 1014 φορές

Από Πυθαγόρειο έχουμε: BC=17

Αν

είναι το σημείο τομής της καθέτου στο

επι την

με την

τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο $\vartriangle ADF\overset{AC=CD=15}{\mathop{\Rightarrow }}\,CF=AC\Rightarrow \angle F=\angle CAF=\angle BAD\Rightarrow \vartriangle ADB\sim \vartriangle FAB\Rightarrow$
$\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AB}{BF}=\dfrac{8}{32}=\dfrac{6}{24}=\dfrac{DE}{EF}\Rightarrow AE$ διχοτόμος της ορθής γωνίας $\angle DAF\Rightarrow \angle \theta ={{45}^{0}}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 26, 2021 11:09 am**

Με απευθείας υπολογισμούς, χωρίς αξιοποίηση άλλων στοιχείων για την εύρεση μιας πιο έξυπνης λύσης όπως π.χ. του Στάθη,
και της ακόμα καλύτερης του Γιώργου!

$\displaystyle{ \begin{aligned} 1) & AF \cdot BC = AB \cdot AC \rightarrow 17 \cdot AF = 8 \cdot 15 \rightarrow AF = {120 \over 17} \cr 2) & BF^2 = AB^2 - AF^2 \rightarrow \cdots \rightarrow BF = {64 \over 17} \cr 3) & DF = BF - BD \rightarrow \cdots \rightarrow DF = {30 \over 17} \cr 4) & FE = BC - BF - EC \rightarrow \cdots \rightarrow FE = {72 \over 17} \cr 5) & \tan\theta = \tan(\theta_1+\theta_2) = {\displaystyle {DF\over AF} + {FE \over AF} \over \displaystyle 1 - {DF\over AF}{FE\over AF}} = \cdots 1 \rightarrow \theta = 45^o \cr \end{aligned} }$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 26, 2021 1:24 pm**

Μία καθαρά μετρική.

: Μια γωνία.β.png (10.14 KiB) Προβλήθηκε 987 φορές

Με $\displaystyle {\rm{Stewart}}$ διαδοχικά στο τρίγωνο ABC

και τέμνουσες AD, AE

βρίσκω πρώτα $\displaystyle A{D^2} = \frac{{900}}{{17}}$ και στη συνέχεια $\displaystyle A{E^2} = \frac{{1152}}{{17}}.$

Τέλος με νόμο συνημιτόνου στο ADE

είναι: $\displaystyle 36 = \frac{{2052}}{{17}} - \frac{{60 \cdot 24\sqrt 2 }}{{17}}\cos \theta \Leftrightarrow \cos \theta = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow$ $\boxed{\theta=45^\circ}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 26, 2021 4:16 pm**

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 26, 2021 1:30 am

Στο ορθογώνιο τρίγωνο Να βρείτε την έγχρωμη γωνία

Κανένας περιορισμός στις λύσεις .

Χωρίς λόγια!

: Screenshot_1.png (32.54 KiB) Προβλήθηκε 973 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 26, 2021 6:07 pm**

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 26, 2021 1:30 am
Μια ώριμη γωνία.png

Στο ορθογώνιο τρίγωνο Να βρείτε την έγχρωμη γωνία

Κανένας περιορισμός στις λύσεις .

Είναι $BC=17 \Rightarrow BD=2 \Rightarrow BE=AB=8$

Επειδή AC=CD=15

,η

είναι εφαπτόμενη του κύκλου (C,15)

,άρα $\angle BAD= \dfrac{C}{2}$

Με

διχοτόμο της $\angle B \Rightarrow BH \bot AE$ οπότε $\angle AKH= \angle \dfrac{C+B}{2} =45^0 \Rightarrow \theta =45^0$

: γωνία.png (16.13 KiB) Προβλήθηκε 955 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 26, 2021 7:07 pm**

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 26, 2021 1:30 am
Μια ώριμη γωνία.png

Στο ορθογώνιο τρίγωνο Να βρείτε την έγχρωμη γωνία

Κανένας περιορισμός στις λύσεις .

Από το Π.Θ στο τρίγωνο ABC

προκύπτει

και

Εστω $CM\perp AD\Rightarrow AT=TD,\hat{ADT}=\theta ,$
Εστω $AI\perp AE,AB=BE=8,$ συνεπώς $\hat{BAE}=\hat{BEA}=\sigma ,$ και $\hat{IAB}=\hat{EAC}=\nu ,$ (καθετότητα πλευρών ) ακόμη $\hat{IAB}=90-\sigma =\nu ,$
Απο το θεώρημα διχοτόμου στο τρίγωνο $AEC,\dfrac{AT}{TE}=\dfrac{5}{3},\dfrac{ID}{DE}=\dfrac{5}{3}\Rightarrow DT//AI\Rightarrow \hat{DTE}=2\theta =90\Leftrightarrow \theta =45^{0}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 26, 2021 7:34 pm**

Αφού δεν υπάρχουν περιορισμοί, θεωρώ σύστημα συντεταγμένων με αρχή το σημείο B(0,0)

και σημείο

της

ώστε

Προφανώς το DEZA

είναι ισοσκελές τραπέζιο και όλες οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες με $\theta.$ Αν A(x,y)

τότε:

: Μια γωνία.γ.png (14.98 KiB) Προβλήθηκε 928 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + {y^2} = 64\\ \\ {(17 - x)^2} + {y^2} = 225 \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{A\left( {\frac{{64}}{{17}},\frac{{120}}{{17}}} \right)}$ κι επειδή $\displaystyle \overrightarrow {CZ} = \frac{3}{5}\overrightarrow {CA}$ θα είναι $\boxed{ Z\left( {\frac{{154}}{{17}},\frac{{72}}{{17}}} \right)}$

$\displaystyle \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {DZ} = \left( {\frac{{72}}{{17}}, - \frac{{120}}{{17}}} \right)\left( {\frac{{120}}{{17}},\frac{{72}}{{17}}} \right) = 0 \Leftrightarrow AE \bot DZ$ και κατά συνέπεια $\boxed{\theta=45^\circ}$

Δημοσιεύτηκε: **Τρί Οκτ 26, 2021 10:26 pm**

Καλό βράδυ σε όλους!

: 26-10 Γωνία NF.png (152.17 KiB) Προβλήθηκε 898 φορές

Τα ύψη των ισοσκελών ABE, DAC

διχοτομούν τις $\widehat{B}, \widehat{C}$ δηλ

έγκεντρο του BAC

.

Τότε $\widehat{MIN}=\widehat{BIC}=135^o$ και $\widehat{MAN}=45^o$ . Φιλικά, Γιώργος.

Υ.Γ Από τα παραπάνω προκύπτει η γενικότερη πρόταση:

Θεωρούμε τρίγωνο ABC