Μεγάλες κατασκευές 61

KARKAR · #1

: Μεγάλες κατασκευές 61.png (11.27 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές

Να κατασκευαστεί τρίγωνο ABC

, με :

, στο οποίο η διάμεσος

,

να ισούται με την διχοτόμο

.

Αν

, ποιο είναι το μικρότερο ακέραιο μήκος της

, για το οποίο το πρόβλημα έχει λύση ;

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 18, 2021 1:14 pm
Μεγάλες κατασκευές 61.pngΝα κατασκευαστεί τρίγωνο , με : , στο οποίο η διάμεσος ,

να ισούται με την διχοτόμο .

Αν , ποιο είναι το μικρότερο ακέραιο μήκος της , για το οποίο το πρόβλημα έχει λύση ;

Για το πρώτο ερώτημα (με τα νέα δεδομένα εκτός φακέλου). Αρκεί να βρω το μήκος του AC=b.

Από τους τύπους διχοτόμου και διαμέσου είναι:

$\displaystyle 45 - \frac{{45{b^2}}}{{196}} = \frac{{2{b^2} - 31}}{4} \Leftrightarrow 143{b^2} = 10339 \Leftrightarrow$ $\boxed{b = 7\sqrt {\frac{{211}}{{143}}} }$

Για το δεύτερο ερώτημα η απάντηση είναι BC=3

καθώς δίνει λύση για το

ενώ για

η εξίσωση που προκύπτει είναι αδύνατη.

KARKAR · #3

Γιώργο , ο τύπος υπολογισμού της διχοτόμου έχει πολλές δεκαετίες να εμφανιστεί σε σχολικό βιβλίο .

Δύσκολο πλέον να ξαναδούμε τέτοια θέματα , αλλά ας υπενθυμίσω τους τύπους : Είναι λοιπόν :

$m_{a}^2=\dfrac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$ και : $d_{b}^2=\dfrac{ac[(a+c)^2-b^2]}{(a+c)^2}$ .

Λύνοντας , βρίσκω : $b^2=\dfrac{(a+c)^2(a^2+4ac-2c^2)}{2(a^2+c^2+4ac)}$ .

Πρέπει λοιπόν : a^2+4ac-2c^2>0

, δηλαδή : $\dfrac{a}{c}>\sqrt{6}-2\simeq 0.45$ , που απαντά

στο δεύτερο ερώτημα χωρίς να χρειαστούμε δοκιμές .

#4

Κατασκευή .

: Μεγάλες κατασκευές 61_oritzin_1_Κατασκευή.png (20.78 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές

Σε ευθεία θεωρώ τα διαδοχικά σημεία S,B,M

με $\boxed{SB = 5\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BM = \frac{9}{2}}$ .

Γράφω τον Απολλώνιο κύκλο $\Omega$ του οποίου κάθε σημείο

έχει την ιδιότητα : $\boxed{\frac{{PS}}{{PM}} = \frac{{14}}{9}}$ ’

Γράφω και τον κύκλο $\left( {B,5} \right)$ που τέμνει τον $\Omega$ σε δύο σημεία , το ένα απ’ αυτά έστω

.

Έστω τώρα

το συμμετρικό του

ως προς το

. Το τρίγωνο ABC

είναι αυτό που θέλω .

Το πρόβλημα έχει λύση αν τέμνονται οι δύο κύκλοι.

Με σταθερό το AB = 5

δίδω την απάντηση για BC = 13

και πάλι για AB = 5

και

που είναι η πιο μικρή ακέραια τιμή (του

)

: Μεγάλες κατασκευές 61_BC_13.png (22.07 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές

: Μεγάλες κατασκευές 61_BC_3.png (25.25 KiB) Προβλήθηκε 421 φορές

Η "νόμιμη" λύση ( Όπως οι του Υπουργείου παιδείας διατάζουν ) υπάρχει και θα δοθεί άλλη μέρα , Θεού θέλοντος .

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Οκτ 18, 2021 8:13 pm
Γιώργο , ο τύπος υπολογισμού της διχοτόμου έχει πολλές δεκαετίες να εμφανιστεί σε σχολικό βιβλίο .

Κι όμως ο τύπος που χρησιμοποίησα βρίσκεται στο σχολικό βιβλίο και είναι η 2η άσκηση από τις Γενικές του 9ου κεφαλαίου.

Στην άσκησή μας είναι ο $\displaystyle B{D^2} = AB \cdot BC - AD \cdot DC$

Μεγάλες κατασκευές 61

Μεγάλες κατασκευές 61

Re: Μεγάλες κατασκευές 61

Re: Μεγάλες κατασκευές 61

Re: Μεγάλες κατασκευές 61

Re: Μεγάλες κατασκευές 61

Μέλη σε σύνδεση