Πάλι με 80°, 80°,20°

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8151
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Πάλι με 80°, 80°,20°

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Οκτ 14, 2021 3:00 am

Πάλι με 80_80_20.png
Πάλι με 80_80_20.png (12.3 KiB) Προβλήθηκε 166 φορές
Να δειχθεί ότι: \dfrac{a}{b} + {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2} = 3



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10818
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πάλι με 80°, 80°,20°

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 14, 2021 8:13 am

Doloros έγραψε:
Πέμ Οκτ 14, 2021 3:00 am
Πάλι με 80_80_20.png

Να δειχθεί ότι: \dfrac{a}{b} + {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2} = 3
80-80-20..png
80-80-20..png (12.77 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές
\displaystyle b = 2\sin 10^\circ  \Leftrightarrow \frac{b}{a} = 2\sin 10^\circ και \displaystyle \frac{a}{b} + {\left( {\frac{b}{a}} \right)^2} = \frac{1}{{2\sin 10^\circ }} + 4{\sin ^2}10^\circ  = \frac{{8{{\sin }^3}10^\circ  + 1}}{{2\sin 10^\circ }}

Αλλά, \displaystyle \sin 30^\circ  = 3\sin 10^\circ  - 4{\sin ^3}10^\circ  \Leftrightarrow 8{\sin ^3}10^\circ  = 6\sin 10^\circ  - 1 και με αντικατάσταση \boxed{\dfrac{a}{b} + {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2} = 3}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2132
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Πάλι με 80°, 80°,20°

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Οκτ 14, 2021 9:22 am

Doloros έγραψε:
Πέμ Οκτ 14, 2021 3:00 am
Πάλι με 80_80_20.png

Να δειχθεί ότι: \dfrac{a}{b} + {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2} = 3
Έστω ότι BD η διχοτόμος της γωνίας \hat{B},\hat{DBC}=\hat{ABD}=40^{0}

Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο TBD,\hat{TDB}=60^{0},\hat{TBA}=20^{0},BT=TD=BD

Από το θεώρημα της διχοτόμου και το τύπο της διχοτόμου είναι AD=\dfrac{ab}{a+b},BD^{2}=ab^{2}\dfrac{b+2a}{(a+b)^{2}} αντίστοιχα

Από την ομοιότητα των τριγώνων ATB,TBC,\dfrac{b}{a}=\dfrac{BD}{TC},(*),

TC=AT+a=BD-AD+a=\dfrac{1}{a+b}(a^{2}+b\sqrt{a(b+2a)})

Συνεπώς
(*)\Rightarrow a\sqrt{a(b+2a)}=a^{2}+b\sqrt{a(2a+b)}\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}=3a^{2}b

που είναι η αποδεικτέα σχέση

ΥΓ καλημέρα Νίκο πιστεύω να είσαι υγιής και δυνατός από τους συνεχόμενους σεισμούς στη Κρήτη

Καλημέρα Γιώργο
Συνημμένα
Πάλι 80,80,20.png
Πάλι 80,80,20.png (28.73 KiB) Προβλήθηκε 129 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10818
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Πάλι με 80°, 80°,20°

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 14, 2021 12:59 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Οκτ 14, 2021 3:00 am
Πάλι με 80_80_20.png

Να δειχθεί ότι: \dfrac{a}{b} + {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2} = 3
Καλό μεσημέρι!

Έστω AD η διχοτόμος του τριγώνου. Στο τρίγωνο ABD μία γωνία είναι 60^\circ και από τις άλλες δύο η μία είναι διπλάσια της άλλης. Άρα:
Πάλι 80-80-20.png
Πάλι 80-80-20.png (13.99 KiB) Προβλήθηκε 111 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
{b^2} = {x^2} + A{D^2} - xAD\\ 
\\ 
A{D^2} = {x^2} + bx 
\end{array} \right.

Αλλά λόγω διχοτόμου, \displaystyle x = \frac{{ab}}{{a + b}} και με αντικατάσταση έχω:

\displaystyle {b^2} = \frac{{a{b^2}(3a + b) - a{b^2}\sqrt {a(2a + b)} }}{{{{(a + b)}^2}}} \Leftrightarrow a\sqrt a  = (a - b)\sqrt {2a + b}  \Leftrightarrow {a^3} - 3{a^2}b + {b^3} = 0

που είναι ισοδύναμη με την αποδεικτέα σχέση.


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2132
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Πάλι με 80°, 80°,20°

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Πέμ Οκτ 14, 2021 2:15 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Οκτ 14, 2021 3:00 am
Πάλι με 80_80_20.png

Να δειχθεί ότι: \dfrac{a}{b} + {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2} = 3
BD,AE διχοτόμοι των \hat{B},\hat{A} αντίστοιχα,
ADEB ισοσκελές τραπέζιο και BJ//AC, το τρίγωνο BDJ Ισόπλευρο,

Εφόσον \hat{DEC}=80^{0},\hat{EDN}=20^{0}\Rightarrow ED=DN,AD=DN\Rightarrow \hat{DNA}=\hat{NAD}=30^{0},

Από θεώρημα διχοτόμου AD=\dfrac{ab}{a+b},DC=\dfrac{a^{2}}{a+b},AB=BN=b

γιατι \hat{BAN}=\hat{BNA}=50^{0}

Από το τύπο της διχοτόμου BD=\dfrac{b}{a+b}\sqrt{a(b+2a)} και απο τα όμοια τρίγωνα BNJ,DNC\Rightarrow \dfrac{BN}{NC}=\dfrac{BJ}{DC}\Rightarrow \dfrac{b}{a-b}=\dfrac{b\sqrt{a(b+2a))}}{a^{2}}\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}=3a^{2}b
Συνημμένα
Πάλι 80,80,20.png
Πάλι 80,80,20.png (41.35 KiB) Προβλήθηκε 97 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2116
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Πάλι με 80°, 80°,20°

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Πέμ Οκτ 14, 2021 7:09 pm

Doloros έγραψε:
Πέμ Οκτ 14, 2021 3:00 am
Πάλι με 80_80_20.png

Να δειχθεί ότι: \dfrac{a}{b} + {\left( {\dfrac{b}{a}} \right)^2} = 3
Με  \dfrac{a}{b}=x αρκεί να αποδείξουμε ότι  x^3-3x^2+1=0

Θεωρούμε τις AD,AE διχοτόμους των  \angle A, \angle BAD αντίστοιχα

Από δ.διχοτόμου  BD= \dfrac{ab}{a+b}=b \dfrac{x}{x+1}

Ακόμη, b^2=BE.a \Rightarrow BE= \dfrac{b^2}{a}=b \dfrac{1}{x}   \Rightarrow  ED=BD-BE=.. b \dfrac{x^2-x-1}{x(x+1)} και  EC=a-BE=a- \dfrac{b^2}{a} =b(x- \dfrac{1}{x} )

Τέλος, AE^2=b^2=ED.EC= b \dfrac{x^2-x-1}{x(x+1)}.  b(x- \dfrac{1}{x} ) απ όπου εύκολα  x^3-3x^2+1=0
80-80-20.png
80-80-20.png (10.15 KiB) Προβλήθηκε 62 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης