Ώρα εφαπτομένης 111

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12818
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 111

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Οκτ 13, 2021 8:13 pm

Ώρα  εφαπτομένης  111.png
Ώρα εφαπτομένης 111.png (14.5 KiB) Προβλήθηκε 121 φορές
Ο κύκλος (K,2) έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο (O,3) . Ονομάσαμε S το ένα κοινό σημείο των δύο κύκλων .

Θεωρούμε σημεία P ,T των (O) , (K) αντίστοιχα , ώστε το τμήμα PS να εφάπτεται του (K) και το τμήμα TS ,

να εφάπτεται του (O) . Υπολογίστε την : \tan\theta ,  ( \theta = \widehat{PST} ) .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2116
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 111

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Οκτ 13, 2021 11:58 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 13, 2021 8:13 pm
Ώρα εφαπτομένης 111.pngΟ κύκλος (K,2) έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο (O,3) . Ονομάσαμε S το ένα κοινό σημείο των δύο κύκλων .

Θεωρούμε σημεία P ,T των (O) , (K) αντίστοιχα , ώστε το τμήμα PS να εφάπτεται του (K) και το τμήμα TS ,

να εφάπτεται του (O) . Υπολογίστε την : \tan\theta ,  ( \theta = \widehat{PST} ) .
Είναι SP=4 \sqrt{2} και με OM \bot SK \Rightarrow OM=2 \sqrt{2}

Οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες ως συμπληρώματα των ίσων γωνιών x.

tan \angle PST=tan \theta =-tan \phi =- \dfrac{OM}{MS}=-2 \sqrt{2}
ώρα εφαπτομένης 111.png
ώρα εφαπτομένης 111.png (38.35 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8151
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 111

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Οκτ 14, 2021 2:23 am

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 13, 2021 8:13 pm
Ώρα εφαπτομένης 111.pngΟ κύκλος (K,2) έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο (O,3) . Ονομάσαμε S το ένα κοινό σημείο των δύο κύκλων .

Θεωρούμε σημεία P ,T των (O) , (K) αντίστοιχα , ώστε το τμήμα PS να εφάπτεται του (K) και το τμήμα TS ,

να εφάπτεται του (O) . Υπολογίστε την : \tan\theta ,  ( \theta = \widehat{PST} ) .
Ωρα εφαπτομένης 111.png
Ωρα εφαπτομένης 111.png (23.1 KiB) Προβλήθηκε 81 φορές

Πάντα οι γωνίες \widehat {{\omega _{}}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _{}}}\, είναι παραπληρωματικές αφού έχουν κάθετες πλευρές και είναι η μια οξεία και η άλλη αμβλεία .

Όμως αν M το μέσο του KB από το ορθογώνιο \vartriangle MOS έχω: \boxed{\tan \omega  = \frac{{\sqrt {9 - 1} }}{1} = 2\sqrt 2  \Rightarrow \tan \theta  =  - 2\sqrt 2 }


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10818
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 111

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Οκτ 14, 2021 12:19 pm

KARKAR έγραψε:
Τετ Οκτ 13, 2021 8:13 pm
Ώρα εφαπτομένης 111.pngΟ κύκλος (K,2) έχει το κέντρο του πάνω στον κύκλο (O,3) . Ονομάσαμε S το ένα κοινό σημείο των δύο κύκλων .

Θεωρούμε σημεία P ,T των (O) , (K) αντίστοιχα , ώστε το τμήμα PS να εφάπτεται του (K) και το τμήμα TS ,

να εφάπτεται του (O) . Υπολογίστε την : \tan\theta ,  ( \theta = \widehat{PST} ) .
Ώρα εφαπτομένης.111.png
Ώρα εφαπτομένης.111.png (18.13 KiB) Προβλήθηκε 48 φορές
\displaystyle OM = \frac{{SK}}{2} = 1 \Rightarrow MS = 2\sqrt 2 και \displaystyle \tan \theta  = \tan (90^\circ  + \omega ) =  - \cot \omega  =  - 2\sqrt 2


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 218
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Ώρα εφαπτομένης 111

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Πέμ Οκτ 14, 2021 5:13 pm

Ακόμα μία διατύπωση ... ουσιαστικά των ιδίων, επειδή

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& \tan(P\widehat{S}T)=\tan(2\widehat{\alpha}+\widehat{\phi})=tan(\widehat{\beta}+\widehat{\phi})=\tan(180-\widehat{\gamma})=-\tan(\widehat{\gamma}) \rightarrow \cr 
& \tan(P\widehat{S}T) = -{PS \over SK} = -{\sqrt{36-4} \over 2} = -2\sqrt{2} \cr 
\end{aligned} 
}
Συνημμένα
rsz_1tan111.png
rsz_1tan111.png (53.92 KiB) Προβλήθηκε 34 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες