Γωνία από γωνίες και μήκη

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8151
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Γωνία από γωνίες και μήκη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Οκτ 12, 2021 3:55 pm

Γωνία απο γωνίες και μήκη.png
Γωνία απο γωνίες και μήκη.png (17.55 KiB) Προβλήθηκε 187 φορές
Τριγώνου ABC

Δίδονται : B = 60^\circ \,\,,\,\,C = 15^\circ και σημείο D του BC με: BD = 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = \sqrt 3

Βρείτε τη γωνία \theta



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10818
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνία από γωνίες και μήκη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 12, 2021 5:40 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Οκτ 12, 2021 3:55 pm
Γωνία απο γωνίες και μήκη.png

Τριγώνου ABC

Δίδονται : B = 60^\circ \,\,,\,\,C = 15^\circ και σημείο D του BC με: BD = 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = \sqrt 3

Βρείτε τη γωνία \theta
Με νόμο ημιτόνων βρίσκω \displaystyle c = \sqrt 3  - 1. (κλασική περίπτωση επίλυσης τριγώνου).
Γωνία από γωνίες και μήκη.png
Γωνία από γωνίες και μήκη.png (12.85 KiB) Προβλήθηκε 170 φορές
Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο ABE όπως φαίνεται στο σχήμα. Είναι \displaystyle ED = 1 - c = 2 - \sqrt 3 ,EC = 2

\displaystyle ED \cdot EC = 4 - 2\sqrt 3  = {(\sqrt 3  - 1)^2} = {c^2} = A{E^2}, άρα η AE εφάπτεται στον περίκυκλο του ADC, οπότε

\displaystyle E\widehat AD = 15^\circ και \boxed{\theta=30^\circ}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10818
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Γωνία από γωνίες και μήκη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Οκτ 12, 2021 6:45 pm

Χωρίς τριγωνομετρία.

Η από το C κάθετη στην BA την τέμνει στο K και έστω H η προβολή του A στην BC.
Γωνία από γωνίες και μήκη.β.png
Γωνία από γωνίες και μήκη.β.png (13.76 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές
\displaystyle KB = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2},KC = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2} και \displaystyle AK = AH \Leftrightarrow \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2} - c = \frac{{c\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow \boxed{c=\sqrt 3-1}

\displaystyle AH = (\sqrt 3  - 1)\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{2} = 1 - \frac{{\sqrt 3  - 1}}{2} = 1 - BH = HD \Rightarrow A\widehat DH = 45^\circ και \boxed{\theta=30^\circ}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2132
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Γωνία από γωνίες και μήκη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Οκτ 12, 2021 8:39 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Οκτ 12, 2021 3:55 pm
Γωνία απο γωνίες και μήκη.png

Τριγώνου ABC

Δίδονται : B = 60^\circ \,\,,\,\,C = 15^\circ και σημείο D του BC με: BD = 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = \sqrt 3

Βρείτε τη γωνία \theta
Εστω AE\perp BC Τότε BE=\dfrac{c}{2},AE=\dfrac{c\sqrt{3}}{2},


              ED=1-\dfrac{c}{2}

,AD^{2}=AE^{2}+ED^{2}\Rightarrow AD=\sqrt{c^{2}-c-1},EC=AD+DC=\dfrac{2\sqrt{3}+2-c}{2},

tan15^{0}=2-\sqrt{3}, tanc=\dfrac{c\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+2-c}\Rightarrow c=\sqrt{3}-1,a=1+\sqrt{3},

 AE=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2},ED=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2},AE=ED,\hat{ADE}=\hat{DAE}=45^{0}, 

    45=15+\theta \Leftrightarrow \theta =30^{0}
Συνημμένα
Γωνία από γωνίες και μήκη.png
Γωνία από γωνίες και μήκη.png (27.05 KiB) Προβλήθηκε 138 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1472
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Γωνία από γωνίες και μήκη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Τετ Οκτ 13, 2021 7:23 am

Καλημέρα!
13-10 Γωνία ..Ν.Φ.png
13-10 Γωνία ..Ν.Φ.png (74.6 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές
Το E \in BC ώστε EA \perp AB . Τότε EC=AE=c\sqrt{3} ενώ BE=2c.

Είναι BC=BE+EC δηλ. 2c+c\sqrt{3}=\sqrt{3}+1 \Leftrightarrow \boxed {c=\sqrt{3}-1}


Στο τρίγωνο BAD έχουμε \widehat{A}+\widehat{D}=180^o-60^o=75^o +45^o

και \dfrac{sinA}{sinD}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}=\dfrac{sin75^o}{sin45^o}.

Όπως κι' ΕΔΩ παίρνουμε \widehat{BAD}=75^o..\widehat{BDA}=45^o , οπότε \widehat{DAC}=\theta=30^o.

Φιλικά, Γιώργος.


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2116
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Γωνία από γωνίες και μήκη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τετ Οκτ 13, 2021 3:50 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Οκτ 12, 2021 3:55 pm
Γωνία απο γωνίες και μήκη.png

Τριγώνου ABC

Δίδονται : B = 60^\circ \,\,,\,\,C = 15^\circ και σημείο D του BC με: BD = 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = \sqrt 3

Βρείτε τη γωνία \theta
Η μεσοκάθετος της DC τέμνει την BA στο E και \angle BEN=30^0

sin60^0= \dfrac{ \sqrt{3} }{2} = \dfrac{EN}{EB}= \dfrac{DN}{DB}  άρα ED διχοτόμος της \angle BEN \Rightarrow  \angle BED= \angle DEN= \angle NEC=15^0

Επομένως DAEC εγγράψιμμο ,άρα \angle  \theta=30^0
30.png
30.png (14.03 KiB) Προβλήθηκε 81 φορές


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1472
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Γωνία από γωνίες και μήκη

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Πέμ Οκτ 14, 2021 1:01 am

Χαιρετώ!
14-10 nf.png
14-10 nf.png (93.15 KiB) Προβλήθηκε 39 φορές
Στο σχήμα είναι DH\parallel AC και DM \perp AB , ενώ όπως βρήκαμε AB=\sqrt{3}-1.

Τότε \dfrac{BH}{AB}=\dfrac{BD}{BC}\Rightarrow BH=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3} και MH=\dfrac{1}{2}-\left ( 2-\sqrt{3} \right )=\dfrac{2\sqrt{3}-3}{2}.

Ακόμη AM=AB-BM=\left ( \sqrt{3}-1 \right )-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}-3}{2}.

Άρα AM=MH οπότε η DM είναι και διχοτόμος της \angle ADH συνεπώς \angle DAC=\angle ADH=30^o.

Φιλικά, Γιώργος.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες