Γωνία από γωνίες και μήκη

#1

: Γωνία απο γωνίες και μήκη.png (17.55 KiB) Προβλήθηκε 445 φορές

Τριγώνου

Δίδονται : $B = 60^\circ \,\,,\,\,C = 15^\circ$ και σημείο

του

με: $BD = 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = \sqrt 3$

Βρείτε τη γωνία $\theta$

#2

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 12, 2021 3:55 pm
Γωνία απο γωνίες και μήκη.png

Τριγώνου

Δίδονται : $B = 60^\circ \,\,,\,\,C = 15^\circ$ και σημείο του με: $BD = 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = \sqrt 3$

Βρείτε τη γωνία $\theta$

Με νόμο ημιτόνων βρίσκω $\displaystyle c = \sqrt 3 - 1.$ (κλασική περίπτωση επίλυσης τριγώνου).

: Γωνία από γωνίες και μήκη.png (12.85 KiB) Προβλήθηκε 428 φορές

Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο ABE

όπως φαίνεται στο σχήμα. Είναι $\displaystyle ED = 1 - c = 2 - \sqrt 3 ,EC = 2$

$\displaystyle ED \cdot EC = 4 - 2\sqrt 3 = {(\sqrt 3 - 1)^2} = {c^2} = A{E^2},$ άρα η

εφάπτεται στον περίκυκλο του ADC,

οπότε

$\displaystyle E\widehat AD = 15^\circ$ και $\boxed{\theta=30^\circ}$

#3

Χωρίς τριγωνομετρία.

Η από το

κάθετη στην

την τέμνει στο

και έστω

η προβολή του

στην

: Γωνία από γωνίες και μήκη.β.png (13.76 KiB) Προβλήθηκε 415 φορές

$\displaystyle KB = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2},KC = \frac{{3 + \sqrt 3 }}{2}$ και $\displaystyle AK = AH \Leftrightarrow \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2} - c = \frac{{c\sqrt 3 }}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{c=\sqrt 3-1}$

$\displaystyle AH = (\sqrt 3 - 1)\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 - \sqrt 3 }}{2} = 1 - \frac{{\sqrt 3 - 1}}{2} = 1 - BH = HD \Rightarrow A\widehat DH = 45^\circ$ και $\boxed{\theta=30^\circ}$

STOPJOHN · #4

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 12, 2021 3:55 pm
Γωνία απο γωνίες και μήκη.png

Τριγώνου

Δίδονται : $B = 60^\circ \,\,,\,\,C = 15^\circ$ και σημείο του με: $BD = 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = \sqrt 3$

Βρείτε τη γωνία $\theta$

Εστω $AE\perp BC$ Τότε $BE=\dfrac{c}{2},AE=\dfrac{c\sqrt{3}}{2}, ED=1-\dfrac{c}{2} ,AD^{2}=AE^{2}+ED^{2}\Rightarrow AD=\sqrt{c^{2}-c-1},EC=AD+DC=\dfrac{2\sqrt{3}+2-c}{2}, tan15^{0}=2-\sqrt{3}, tanc=\dfrac{c\sqrt{3}}{2\sqrt{3}+2-c}\Rightarrow c=\sqrt{3}-1,a=1+\sqrt{3}, AE=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2},ED=\dfrac{3-\sqrt{3}}{2},AE=ED,\hat{ADE}=\hat{DAE}=45^{0}, 45=15+\theta \Leftrightarrow \theta =30^{0}$

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλημέρα!

: 13-10 Γωνία ..Ν.Φ.png (74.6 KiB) Προβλήθηκε 370 φορές

Το $E \in BC$ ώστε $EA \perp AB$ . Τότε $EC=AE=c\sqrt{3}$ ενώ BE=2c

.

Είναι BC=BE+EC

δηλ. $2c+c\sqrt{3}=\sqrt{3}+1 \Leftrightarrow \boxed {c=\sqrt{3}-1}$

Στο τρίγωνο BAD

έχουμε $\widehat{A}+\widehat{D}=180^o-60^o=75^o +45^o$

και $\dfrac{sinA}{sinD}=\dfrac{BD}{AB}=\dfrac{1}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{2}=\dfrac{sin75^o}{sin45^o}$ .

Όπως κι' ΕΔΩ παίρνουμε $\widehat{BAD}=75^o..\widehat{BDA}=45^o$ , οπότε $\widehat{DAC}=\theta=30^o$ .

Φιλικά, Γιώργος.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Οκτ 12, 2021 3:55 pm
Γωνία απο γωνίες και μήκη.png

Τριγώνου

Δίδονται : $B = 60^\circ \,\,,\,\,C = 15^\circ$ και σημείο του με: $BD = 1\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = \sqrt 3$

Βρείτε τη γωνία $\theta$

Η μεσοκάθετος της

τέμνει την

στο

και $\angle BEN=30^0$

$sin60^0= \dfrac{ \sqrt{3} }{2} = \dfrac{EN}{EB}= \dfrac{DN}{DB}$ άρα

διχοτόμος της $\angle BEN \Rightarrow \angle BED= \angle DEN= \angle NEC=15^0$

Επομένως DAEC

εγγράψιμμο ,άρα $\angle \theta=30^0$

: 30.png (14.03 KiB) Προβλήθηκε 339 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #7

Χαιρετώ!

: 14-10 nf.png (93.15 KiB) Προβλήθηκε 297 φορές

Στο σχήμα είναι $DH\parallel AC$ και $DM \perp AB$ , ενώ όπως βρήκαμε $AB=\sqrt{3}-1$ .

Τότε $\dfrac{BH}{AB}=\dfrac{BD}{BC}\Rightarrow BH=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3}$ και $MH=\dfrac{1}{2}-\left ( 2-\sqrt{3} \right )=\dfrac{2\sqrt{3}-3}{2}$ .

Ακόμη $AM=AB-BM=\left ( \sqrt{3}-1 \right )-\dfrac{1}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}-3}{2}$ .

Άρα AM=MH

οπότε η

είναι και διχοτόμος της $\angle ADH$ συνεπώς $\angle DAC=\angle ADH=30^o$ .

Φιλικά, Γιώργος.

Γωνία από γωνίες και μήκη

Γωνία από γωνίες και μήκη

Re: Γωνία από γωνίες και μήκη

Re: Γωνία από γωνίες και μήκη

Re: Γωνία από γωνίες και μήκη

Re: Γωνία από γωνίες και μήκη

Re: Γωνία από γωνίες και μήκη

Re: Γωνία από γωνίες και μήκη

Μέλη σε σύνδεση