Ορθογώνιες μεγιστοποιήσεις

KARKAR · #1

: Ορθογώνιες μεγιστοποιήσεις.png (8.59 KiB) Προβλήθηκε 417 φορές

Το ορθογώνιο ABCD

έχει διαστάσεις $6\times 2$ . Το ίσο του ορθογώνιο AEZH

περιστρέφεται ,

με σταθερό σημείο το

. Ονομάζουμε

την τομή των AE , DC

και

εκείνη των AD , ZH

.

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του πενταγώνου DSEZT

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Σεπ 18, 2021 10:33 am
Ορθογώνιες μεγιστοποιήσεις.pngΤο ορθογώνιο έχει διαστάσεις $6\times 2$ . Το ίσο του ορθογώνιο περιστρέφεται ,

με σταθερό σημείο το . Ονομάζουμε την τομή των και εκείνη των .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του πενταγώνου .

$\displaystyle (DSEZT) = 12 - (AHT) - (ADS) = 12 - (x + y).$ Αρκεί να βρούμε την ελάχιστη τιμή του x+y.

: Ο.Μ.png (8.55 KiB) Προβλήθηκε 387 φορές

Από την ομοιότητα των AHT, ADS

προκύπτει ότι xy=4.

Άρα το άθροισμά τους γίνεται ελάχιστο

όταν x=y=2.

Επομένως, $\boxed{{(DSEZT)_{\max }} = 8}$

kkala · #3

Μια απόπειρα χρησιμοποιώντας τριγωνομετρία. Εστω $\omega=\angle EAB$ τυχούσα γωνία στροφής του ορθογωνίου με διαστάσεις a=2, b=6

, όπου ( $0^{0}<\omega<90^{0}$ ). Το εμβαδόν του τργώνου ADS είναι $0.5a*a*ctan\omega$ , του ΑΗΤ είναι $0.5a*a*tan\omega$ και το εμβαδον του $DSEZT = ab-0.5a^{2}ctan\omega-0.5a^{2} tan\omega=ab-0.5a^2/(sin\omega*cos\omega )= ab-a^{2}/sin2\omega$ . Το τελευταίο μεγιστοποιείται όταν ελαχιστοποιηθεί ο αφαιρετέος, δηλαδή όταν $sin2\omega=1$ , οπότε $\omega=45^{0}$ . Το εμβαδόν τότε γινεται μέγιστο και είναι $(DSEZT)=ab-a^{2}$ , δηλαδή 8.
Σημ Παραπάνω η συνεφαπτομένη της γωνιας ω αναγράφεται $ctan\omega$ .

Ορθογώνιες μεγιστοποιήσεις

Ορθογώνιες μεγιστοποιήσεις

Re: Ορθογώνιες μεγιστοποιήσεις

Re: Ορθογώνιες μεγιστοποιήσεις

Μέλη σε σύνδεση