Ισοσκελές με ενδιαφέροντα..

Γιώργος Μήτσιος · #1

Χαίρετε!

: 24-7 Ισοσκελές με ενδιαφέροντα...png (64.52 KiB) Προβλήθηκε 892 φορές

Το τρίγωνο ABC

του σχήματος έχει AB=AC

.

Τα $Z,H \in AC$ και $E \in AB$ ώστε να είναι AZ=BE=BH=BC

.

Αν ισχύει $EZ \parallel BH$ τότε: Να βρεθεί η $\widehat{A}$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

#2

Κάνω «κατάκλιση» στο σχήμα.

Θέτω : $AZ = EB = BC = BH = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AE = x\,\,,\,\,HZ = y$ .

Επειδή : $EZ//BH \Rightarrow \dfrac{x}{k} = \dfrac{k}{y} \Rightarrow xy = {k^2}\,\,\left( 1 \right)$ . προφανές ότι οι γωνίες με το ίδιο χρώμα είναι ίσες .

Γράφω τον κύκλο , $\left( {B,C,H} \right)$ και τέμνει ακόμα την

στο

.

Το τετράπλευρο TCZE

είναι εγγράψιμο γιατί : $\widehat {{\xi _{}}} = \widehat {TCH}$ ,

: Ισοσκελές με ενδιαφέροντα1_ok.png (29.4 KiB) Προβλήθηκε 790 φορές

ενώ επειδή , $\vartriangle AZE \approx \vartriangle HTB$ και λόγω της $\left( 1 \right)$ έχω TH = y

κι έτσι τα ισοσκελή τρίγωνα $BCE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,HZT$ είναι ισογώνια .

Επειδή : $\widehat {HTZ} = \widehat {{\phi _{}}} = \widehat {BCE}$ η

εφάπτεται του κύκλου : $\left( {B,C,H} \right)$ κι έτσι :

$T{Z^2} = ZH \cdot ZC \Rightarrow T{Z^2} = yx$ , λόγω της $\left( 1 \right)$ έχω $\boxed{TZ = k}$

δηλαδή $\widehat {{\delta _{}}} = \widehat {{\theta _{}}} \Rightarrow \widehat {{\xi _{}}} = 2\widehat {{\theta _{}}} \Rightarrow \boxed{\widehat {{\theta _{}}} = \frac{\pi }{7}}$ .

#3

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 24, 2021 6:47 pm
Χαίρετε!
24-7 Ισοσκελές με ενδιαφέροντα...png
Το τρίγωνο του σχήματος έχει .

Τα $Z,H \in AC$ και $E \in AB$ ώστε να είναι .

Αν ισχύει $EZ \parallel BH$ τότε: Να βρεθεί η $\widehat{A}$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Καλησπέρα!

Είναι AZ=BE=BH=BC=a, AB=AC=b.

Με νόμο συνημιτόνων στα ABC, EBC

έχω:

: Ισοσκελές με ενδιαφέροντα.png (9.66 KiB) Προβλήθηκε 755 φορές

$\displaystyle a = 2b\cos B$ και $\displaystyle E{C^2} = 2{a^2} - 2{a^2}\cos B,$ απ' όπου $\boxed{E{C^2} = \frac{{2{a^2}b - {a^3}}}{b}}$ (1)

Από την ομοιότητα των τριγώνων BHC, ABC

είναι $\displaystyle \frac{a}{b} = \frac{{HC}}{a} \Leftrightarrow HC = \frac{{{a^2}}}{b}$ και από την παραλληλία

των EZ, BH,

παίρνω $\displaystyle \frac{{b - a}}{b} = \frac{a}{{AH}} \Leftrightarrow AH = \frac{{ab}}{{b - a}}.$ Αλλά, AH+HC=b,

οπότε:

$\displaystyle \frac{{ab}}{{b - a}} + \frac{{{a^2}}}{b} = b \Leftrightarrow 2a{b^2} + {a^2}b - {a^3} = {b^3} \Leftrightarrow \frac{{2{a^2}b - {a^3}}}{b} = {(b - a)^2}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{EC=b-a=EA}$

Άρα, $\displaystyle B\widehat EC = 2\widehat A \Leftrightarrow 180^\circ - \widehat B = 4\widehat A \Leftrightarrow 180^\circ - \left( {90^\circ - \frac{{\widehat A}}{2}} \right) = 4\widehat A \Leftrightarrow$ $\boxed{\widehat A=\frac{180^\circ}{7}}$

#4

Γράφω τον κύκλο , $\left( {A,B,E} \right)$ που τέμνει ακόμη την

στο

.

Προφανές ότι τα τρίγωνα : $ABC\,\,,\,\,AET\,\,,\,\,ETZ,\,BCH$ είναι ισοσκελή και όμοια με γωνία των κορυφών τους από $\widehat {{\theta _{}}}$ .

Θέτω $AE = x\,\,,\,\,AZ = EB = BC = BH = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,EZ = ET = y$

: Ισοσκελές με ενδιαφέροντα_new.png (26.44 KiB) Προβλήθηκε 750 φορές

Ισχύουν : $E{Z^2} = E{T^2} = TZ \cdot TA = ZT \cdot ZC$ και άρα η

εφάπτεται του κύκλου .

Άμεσες συνέπειες: $\widehat {TBA} = \widehat {{\theta _{}}}\,\,$ ενώ $\widehat {ETB} = \widehat {BTC}$ (βαίνουν σε ίσα τόξα) , οπότε και $\widehat {{\phi _{}}} = \widehat {{\theta _{}}}$ .

Έτσι : $\widehat {{\omega _{}}} = 3\widehat {{\theta _{}}} \Rightarrow \boxed{\widehat {{A_{}}} = \frac{\pi }{7}}$

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλό βράδυ!

Ένα (ακόμη) μεγάλο ευχαριστώ στους γνωστούς ... δεινούς λύτες Νίκο και Γιώργο!

Με τη δική μου προσέγγιση φτάνω στο αποτέλεσμα $\widehat{A}=\dfrac{\pi }{7}$ αποδεικνύοντας (όπως ο Γιώργος) πως το τρίγωνο AEC

είναι ισοσκελές

αλλά με άλλο τρόπο. Θα τον υποβάλω μετά από εύλογο χρονικό διάστημα εφόσον δεν καλυφθεί έως τότε.

Φιλικά, Γιώργος.

STOPJOHN · #6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 24, 2021 6:47 pm
Χαίρετε!
24-7 Ισοσκελές με ενδιαφέροντα...png
Το τρίγωνο του σχήματος έχει .

Τα $Z,H \in AC$ και $E \in AB$ ώστε να είναι .

Αν ισχύει $EZ \parallel BH$ τότε: Να βρεθεί η $\widehat{A}$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

$\hat{A}=\hat{\theta },\hat{B}=\hat{C}=\omega ,EZ//BH,\hat{EZH}=\hat{\omega }=\hat{BHC}$

Τα τρίγωνα ABC,BHC

είναι όμοια άρα $\hat{HBC}=\hat{\theta }$

$BH//EZ\Rightarrow \dfrac{EZ}{a}=\dfrac{b-a}{b}=\dfrac{a}{a+ZH} \Leftrightarrow EZ=\dfrac{a(b-a)}{b},(1), ZH=\dfrac{a^{2}}{b-a},(2), ZC=b-a, BH//TEZ\Rightarrow \dfrac{a}{ZT}=\dfrac{CH}{ZC}\Leftrightarrow ZT=TC=\dfrac{b(b-a)}{a},(3)$
$(1),(2),(3)\Rightarrow ZC^{2}=EZ.TC\Leftrightarrow \dfrac{EZ}{ZC}=\dfrac{ZC}{TC},(*)$
οπότε τα τρίγωνα EZC,ZTC

έχουν μια γωνία κοινή $\hat{EZC}=\omega =\hat{TZC}$
και η (*)

δηλαδή είναι όμοια με $\hat{ECZ}=\theta ,EBC,\hat{BEC}=2\theta ,\hat{ECB}=\omega -\theta ,\omega -\theta =2\theta \Leftrightarrow 3\theta =\omega ,7\theta =180\Leftrightarrow \theta =\dfrac{180}{7}$

#7

: Ισοσκελές με ενδιαφέροντα_Al.png (17.69 KiB) Προβλήθηκε 639 φορές

Φέρνω από το

παράλληλη στη βάση

και ας είναι

το σημείο τομής της με την

.

Τα τρίγωνα : $ABC\,\,,\,\,ADT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,DTE$ είναι ισοσκελή και ισογώνια .

Επειδή CT = EA

η μεσοκάθετη του

θα είναι και μεσοκάθετη του

οπότε

.

Συνεπώς : $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _1}} \Rightarrow \widehat {{\delta _{}}} = 2\widehat {{\theta _{}}} \Rightarrow \widehat {{B_{}}} = \widehat {{C_{}}} = 3\widehat {{\theta _{}}} \Rightarrow \boxed{\widehat {{A_{}}} = \frac{\pi }{7}}$

Εκ παραδρομής δεν χρησιμοποίησα τα γράμματα του σχήματος του Γιώργου αλλά νομίζω η ουσία δεν αλλάζει .

Μιχάλης Τσουρακάκης · #8

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Σάβ Ιούλ 24, 2021 6:47 pm
Χαίρετε!
24-7 Ισοσκελές με ενδιαφέροντα...png
Το τρίγωνο του σχήματος έχει .

Τα $Z,H \in AC$ και $E \in AB$ ώστε να είναι .

Αν ισχύει $EZ \parallel BH$ τότε: Να βρεθεί η $\widehat{A}$ . Σας ευχαριστώ, Γιώργος.

Προφανώς $\angle A= \theta$ .Θα δείξουμε ότι $\angle \phi =2 \theta$

Ο κύκλος (A,B,C)

τέμνει την

στο

κι έστω

οπότε

$\angle LZC= \theta= \angle BNC$ και ZNCL

εγγράψιμμο

Είναι,, AZ=ZL

και $\angle LAZ= \dfrac{ \theta }{2} \Rightarrow AL \bot BC \Rightarrow \angle CLN=2 \theta$ ,άρα ZN=ZA=ZL=a

Επειδή

και

εγγράψιμμο, αυτό θα είναι ισοσκελές τραπέζιο,άρα όλες

οι μπλε γωνίες είναι ίσες,συνεπώς $\angle \phi =2 \theta$

Τώρα, $A+B+C= \pi \Rightarrow 7 \theta = \pi \Rightarrow \theta = \dfrac{ \pi }{7}$

: εύρεση γωνίας.png (38.45 KiB) Προβλήθηκε 613 φορές

nickchalkida · #9

Από το

φέρω παράλληλη προς την

η οποία τέμνει την

στο

. Επειδή

$\displaystyle{ \left\{ \begin{aligned} & AEF \sim ABC \rightarrow {EF \over a} = {b-a \over b} \rightarrow EF = {a(b-a) \over b} \cr & BCH \sim ABC \rightarrow {CH \over a} = {a \over b} \rightarrow CH = {a^2\over b} \cr & EZ \parallel BH \rightarrow {EZ \over a} = {b-a \over b} \rightarrow EZ = {a(b-a) \over b} \cr \end{aligned} \right. }$

και θα είναι

$\displaystyle{ FH = CF-CH = a-{a^2\over b} = {a(b-a) \over b} = EF = EZ }$

άρα τότε $\triangle AEZ = \triangle FBH = \triangle FBE$ , διότι AEZ=FBH

και

, οπότε $\widehat{B}=3\widehat{\theta}$ και

$\displaystyle{ \widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C} = \pi \rightarrow \widehat{\theta} = {\pi \over 7} }$

Γιώργος Μήτσιος · #10

Καλησπέρα!
Από ένα μεγάλο ευχαριστώ και στους Γιάννη,Νίκο(ξανά), Μιχάλη και Νίκο για τις άμεσες και κομψές λύσειες τους!
Ας δείξουμε ότι το AEC

είναι ισοσκελές και με άλλο τρόπο. Με χρήση του σχήματος:

: Ισοσκελές με ενδιαφέροντα.png (106.12 KiB) Προβλήθηκε 517 φορές

Έχουμε $\widehat{Z}=\widehat{H}=\widehat{C}=\widehat{B}$ .

Αν $\omega > \theta$ τότε στο τρίγωνο AEC

παίρνουμε

,

ενώ στο τρίγωνο ZEC

είναι $\varphi < \widehat{Z}\Rightarrow ZC< EC$ .

ΑΤΟΠΟ αφού ZC=b-a=AE

. Όμοια αποκλείουμε $\omega < \theta$ άρα $\omega = \theta$ . Φιλικά, Γιώργος.

Ισοσκελές με ενδιαφέροντα..

Ισοσκελές με ενδιαφέροντα..

Re: Ισοσκελές με ενδιαφέροντα..

Re: Ισοσκελές με ενδιαφέροντα..

Re: Ισοσκελές με ενδιαφέροντα..

Re: Ισοσκελές με ενδιαφέροντα..

Re: Ισοσκελές με ενδιαφέροντα..

Re: Ισοσκελές με ενδιαφέροντα..

Re: Ισοσκελές με ενδιαφέροντα..

Re: Ισοσκελές με ενδιαφέροντα..

Re: Ισοσκελές με ενδιαφέροντα..

Μέλη σε σύνδεση