Μέγιστο ύψος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10738
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Μέγιστο ύψος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Ιούλ 15, 2021 6:23 pm

Μέγιστο ύψος.Ι..png
Μέγιστο ύψος.Ι..png (7.3 KiB) Προβλήθηκε 128 φορές
Έστω M το μέσο ευθυγράμμου τμήματος BC=a και A τυχόν σημείο του ημικυκλίου διαμέτρου BM.

Από το σημείο τομής P του ημικυκλίου με την AC φέρνουμε PQ||BC (Q σημείο της AB). Να βρείτε

τη μέγιστη τιμή που μπορεί να πάρει το ύψος AD του τριγώνου AQP.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8097
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο ύψος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Ιούλ 15, 2021 8:03 pm

Θεωρώ BM = MC = a

( Γιώργο δεν πρόσεξα καλά τα δεδομένα σου αλλά η ουσία δεν αλλοιώνεται )

Ας είναι N το μέσο της χορδής , AP,του ημικυκλίου διαμέτρου \overline {BOM} και T η προβολή του B στην AC,

Τα τρίγωνα BAP\,\,\kappa \alpha \iota \,\,OAP έχουν κοινή βάση άρα : \dfrac{{\left( {BAP} \right)}}{{\left( {OAP} \right)}} = \dfrac{{BT}}{{ON}} = \dfrac{{BC}}{{OC}} = \dfrac{4}{3}\,\,\left( 1 \right)
μέγιστο ύψος.png
μέγιστο ύψος.png (30.54 KiB) Προβλήθηκε 108 φορές
Συνεπώς : \left( {BAP} \right) = \dfrac{4}{3}\left( {OAP} \right) = \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{1}{2}\dfrac{{{a^2}}}{4}\sin \widehat {POA} \leqslant \dfrac{{{a^2}}}{6} .

Δηλαδή το μέγιστο εμβαδόν του \vartriangle BAP είναι \boxed{E = \dfrac{{{a^2}}}{6}} όταν \widehat {{\theta _{}}} = 45^\circ .

Αλλά E = \left( {ABC} \right) - \left( {PBC} \right) = \dfrac{1}{2} \cdot 2a \cdot AD = a \cdot AD. Άρα \boxed{A{D_{\max }} = \dfrac{a}{6}}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες