Ίσες γωνίες

#1

Έστω

ένα τρίγωνο με περιγεγγραμμένο κύκλο (O)

και εγγεγραμμένο κύκλο (I)

. Έστω

το μέσο της πλευράς

, και έστω

το μέσο του τόξου

που περιέχει το

. Να δειχθεί ότι $I\widehat{M}A=I\widehat{N}B$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

#2

achilleas έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 14, 2021 11:34 am
Έστω ένα τρίγωνο με περιγεγγραμμένο κύκλο και εγγεγραμμένο κύκλο . Έστω το μέσο της πλευράς , και έστω το μέσο του τόξου που περιέχει το . Να δειχθεί ότι $I\widehat{M}A=I\widehat{N}B$ .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ας είναι

το αντιδιαμετρικό του

. Θ . Ευκλείδη στο $\vartriangle CFN$ : $F{C^2} = FM \cdot FN$ .

Αλλά FN = FA = FI

( γνωστή πρόταση) και άρα η προηγούμενη γράφεται:

: Ισες γωνίες.png (40.67 KiB) Προβλήθηκε 626 φορές

$F{I^2} = FM \cdot FN$ και συνεπώς η

εφάπτεται του κύκλου $\left( {I,N,M} \right)$ .

Άμεση συνέπεια: $\widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}$ και αφού $\widehat {{y_{}}} + \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{x_{}}} + \widehat {{\theta _2}} = 90^\circ \Rightarrow \boxed{\widehat {{x_{}}} = \widehat {{y_{}}}}$

S.E.Louridas · #3

Είδα το όμορφο αυτό θέμα και θα ήθελα να καταθέσω την διαπραγμάτευση που ακολουθεί, μετά από την όμορφη λύση του Νίκου και
μόνο για λόγους πλουραλισμού.

Στο σχήμα που ακολουθεί έχουμε: $\displaystyle{DE\parallel CA,\;\angle CEQ =\angle QDA= \angle \frac{B}{2},}$ οπότε το ADEC

είναι ένα ισοσκελές τραπέζιο με

να είναι λοιπόν το μέσο της ED.

Όμως ισχύουν $\displaystyle{\angle IEB = \angle \frac{C}{2},\;\,\angle BDI = \angle \frac{A}{2},}$ άρα παίρνουμε την "ομόρροπη" ομοιότητα των τριγώνων BED, ICA

και έτσι καταλήγουμε $\angle AMI = \angle IQB = \angle INB.$

: geo1.png (112.21 KiB) Προβλήθηκε 554 φορές

#4

Καλησπέρα σας!

Το πρόβλημα αυτό επινοήθηκε από τον Andrey Badzyan, ο οποίος βραβεύτηκε με χρυσά μετάλλια σε τρεις διαδοχκές IMO εκπροσωπώντας την Ρωσία- δείτε εδώ. Τέθηκε, δε, στην Πανενωσιακή Μαθηματική Ολυμπιάδα το 2005.

Το συνάντησα στο παρακάτω άρθρο

Tran Quang Hung and Pham Huy Hoang, Generalization of a problem with isogonal conjugate points, Journal of Classical Geometry, Vol 2 (2013), pp. 39—42.

Το άρθρο αυτό περιέχει την επίσημη λύση της επιτροπής της Πανενωσιακής Ολυμπιάδας, γενικεύσεις και άλλα όμορφα αποτελέσματα. Περισσότερες λύσεις έχουν δημοσιευθεί εδώ.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Ίσες γωνίες

Ίσες γωνίες

Re: Ίσες γωνίες

Re: Ίσες γωνίες

Re: Ίσες γωνίες

Μέλη σε σύνδεση