Επαναμεγιστοποίηση

KARKAR · #1

Σε σημείο

, το οποίο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=2r

, φέρουμε την εφαπτομένη και

το κάθετο προς την εφαπτομένη τμήμα

. Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου ATS

.

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιούλ 12, 2021 1:26 pm
Σε σημείο , το οποίο κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου , φέρουμε την εφαπτομένη και

το κάθετο προς την εφαπτομένη τμήμα . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

: Επαναμεγιστοποίηση.png (14.62 KiB) Προβλήθηκε 402 φορές

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Καλησπέρα σε όλους. Αφού βρέθηκα για λίγο μπροστά σε συσκευή με πλήκτρα (υπολογιστή με "κανονική" ταχύτητα internet) και αφού βλέπω ότι μάς αρέσει η παλιά αλγεβρική τεχνική εντοπισμού ακροτάτων, δίνω μια σχετική λύση. Αφού βρίσκω ίδιο αποτέλεσμα με τον Γιώργο, δεν κάνω καν επαλήθευση!

: 12-07-2021 Γεωμετρία.png (54.18 KiB) Προβλήθηκε 397 φορές

Για

, έχουμε $\displaystyle A\left( { - 1,0} \right),\;B\left( {1,0} \right),\;S\left( {a,b} \right),\;\; - 1 < a < 1,\;0 < b < 1$ με $\displaystyle {a^2} + {b^2} = 1$

Τότε η εφαπτομένη του ημικυκλίου στο

έχει εξίσωση $\displaystyle ax + by = 1$ και η κάθετη από το

$\displaystyle ay - bx = b$ με $\displaystyle a \ne 0$ .

Οπότε $\displaystyle T\left( {a - {b^2},ab + b} \right)$ , άρα $\displaystyle TS = \sqrt {{b^4} + {a^2}{b^2}} = b$ και

$\displaystyle AS = \sqrt {{{\left( {a - {b^2} + 1} \right)}^2} + {{\left( {ab + b} \right)}^2}} = \sqrt {2 + 2a - {b^2}} =$

$\displaystyle = \sqrt {1 + 2a + {a^2}} = a + 1$

Οπότε $\displaystyle \left( {ATS} \right) = \frac{{TS \cdot AS}}{2} = \frac{{b\left( {a + 1} \right)}}{2} = \frac{{\sqrt {1 - {a^2}} \left( {a + 1} \right)}}{2} = \frac{{{{\left( {1 - a} \right)}^{\frac{1}{2}}}{{\left( {a + 1} \right)}^{\frac{3}{2}}}}}{2}$

Επειδή το άθροισμα των θετικών παραστάσεων 1-a, 1+a

έχει σταθερό άθροισμα, το γινόμενό τους γίνεται μέγιστο όταν είναι ανάλογοι των εκθετών τους:

$\displaystyle \frac{{1 - a}}{{\frac{1}{2}}} = \frac{{1 + a}}{{\frac{3}{2}}} \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}$ , άρα $\displaystyle S\left( {\frac{1}{2},\;\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)$

Οπότε $\displaystyle AT{S_{\max }} = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {1 + \frac{1}{2}} \right)}}{2}{r^2} = \frac{{3\sqrt 3 {r^2}}}{8}$

Για a=0

, έχουμε οριζόντια εφαπτομένη και $\displaystyle \left( {ATS} \right) = \frac{{{r^2}}}{2}$ (μικρότερο από το ευρεθέν).

#4

Καλημέρα σε όλους!

Θέτω TS=x.

Από το εγγεγραμμένο ABSP

οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες, οπότε τα ορθογώνια τρίγωνα

TSP, SAB

είναι όμοια. Αλλά, λόγω της εφαπτομένης είναι $\displaystyle T\widehat SP = S\widehat AP.$ Άρα, SP=SB

και

$\displaystyle \frac{{SP}}{{2r}} = \frac{{TP}}{{SB}} \Leftrightarrow S{P^2} = 2rTP \Leftrightarrow {x^2} + T{P^2} = 2rTP,$ απ' όπου παίρνω την δεκτή ρίζα $\displaystyle TP = r - \sqrt {{r^2} - {x^2}} .$

Είναι όμως $\displaystyle {x^2} = TP \cdot TA \Leftrightarrow TA = \frac{{{x^2}}}{{r - \sqrt {{r^2} - {x^2}} }} \Leftrightarrow TA = r + \sqrt {{r^2} - {x^2}}$

: Επαναμεγιστοποίηση.ΙΙ.png (16.41 KiB) Προβλήθηκε 362 φορές

$\displaystyle (ATS) = \frac{{TS \cdot TA}}{2} \Leftrightarrow (ATS) = f(x) = \frac{{x\left( {r + \sqrt {{r^2} - {x^2}} } \right)}}{2},0 < x < r$

Στη συνέχεια με παραγώγους (είναι απλό) βρίσκω $\boxed{ {(ATS)_{\max }} = \frac{{3{r^2}\sqrt 3 }}{8}}$ για $\boxed{ x = \frac{{r\sqrt 3 }}{2}}$

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Τη στιγμή της μεγιστοποίησης είναι SP=SB=r,

οι κόκκινες γωνίες είναι $60^\circ,$ οι πράσινες $30^\circ$ και SP||AB.

#5

Ας είναι

η προβολή του

στην διάμετρο

και

το κέντρο του ημικυκλίου . Θέτω $OK = x \in \left( {0,r} \right)$ .

Επειδή $\left\{ \begin{gathered} OS \bot TS \hfill \\ AT \bot TS \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow AT//OS \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _1}} \hfill \\ \widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _2}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}} \Rightarrow \boxed{ST = SK}$

: Επαναμεγιστοποίηση.png (24.4 KiB) Προβλήθηκε 338 φορές

$\boxed{\left( {TAS} \right) = \left( {KAS} \right) = \dfrac{1}{2}AK \cdot SK = \dfrac{1}{2}\left( {r + x} \right)\sqrt {{r^2} - {x^2}} = f(x)}$ .

Παρουσιάζει μέγιστο για $\boxed{x = \frac{r}{2}}$ και είναι : $\boxed{f\left( {\frac{r}{2}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 {r^2}}}{8}}$ .

Επαναμεγιστοποίηση

Επαναμεγιστοποίηση

Re: Επαναμεγιστοποίηση

Re: Επαναμεγιστοποίηση

Re: Επαναμεγιστοποίηση

Re: Επαναμεγιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση