Ορθόκεντρο και μέσα

#1

: ορθόκεντρο και μέσα_GOG.png (18.48 KiB) Προβλήθηκε 414 φορές

Έστω σκαληνό και μη ορθογώνιο, $\vartriangle ABC$ με ορθόκεντρο

και

το μέσο του

.

Ο κύκλος διαμέτρου

τέμνει τις $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CA\,\,\,$ στα σημεία , $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ ενώ η

τον κύκλο στο

.

Από το

φέρνω παράλληλη στην

και τέμνει τις $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ME\,$ στα σημεία $N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ .

Να εξεταστεί αν DN = NZ

α) Αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο και

β) Αν $A > 90^\circ$

#2

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 07, 2021 8:19 pm
ορθόκεντρο και μέσα_GOG.png

Έστω σκαληνό και μη ορθογώνιο, $\vartriangle ABC$ με ορθόκεντρο και το μέσο του .

Ο κύκλος διαμέτρου τέμνει τις $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CA\,\,\,$ στα σημεία , $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ ενώ η τον κύκλο στο .

Από το φέρνω παράλληλη στην και τέμνει τις $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ME\,$ στα σημεία $N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ .

Να εξεταστεί αν

α) Αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο και

β) Αν $A > 90^\circ$

Προφανώς λόγω της διαμέτρου

τα σημεία

είναι τα ίχνη των υψών από τα B,A

αντίστοιχα.
Προφανώς ο κύκλος διαμέτρου

(κέντρου

) διέρχεται από τα E,D

(από τις ορθές πλέον γωνίες $\angle AEB,\angle ADB$ ).
Είναι $\angle MED\overset{\gamma \omega \nu \iota \alpha \,\,\alpha \kappa \tau \iota \nu \alpha \varsigma \,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma }{\mathop{=}}\,{{90}^{0}}-\angle DAE={{90}^{0}}-\angle DAC\overset{\vartriangle ADC}{\mathop{=}}\,\angle ECD$ και συνεπώς

εφαπτόμενη του κύκλου $\left( D,H,T,E,C \right)$ και με $MD=ME=\dfrac{AB}{2}$ θα είναι και

εφαπτόμενη του ίδιου κύκλου , άρα

είναι η πολική του

ως προς τον εν λόγω κύκλο και συνεπώς η σειρά $\left( M,T,S,C \right)$ , με $S\equiv MC\cap ED$ είναι αρμονική οπότε και η δέσμη $E.MTSC\equiv E.ZTDN$ είναι αρμονική και με $ET\parallel MZ\Rightarrow N$ το μέσο της

και το ζητούμενο έχει επιβεβαιωθεί.

Προφανώς ο ισχυρισμός ισχύει και στην περίπτωση που το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο στο

(το σχήμα απλά αλλάζει)

Στάθης

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Τετ Αύγ 11, 2021 11:04 am

Doloros έγραψε: ↑
Τετ Ιούλ 07, 2021 8:19 pm
ορθόκεντρο και μέσα_GOG.png

Έστω σκαληνό και μη ορθογώνιο, $\vartriangle ABC$ με ορθόκεντρο και το μέσο του .

Ο κύκλος διαμέτρου τέμνει τις $BC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CA\,\,\,$ στα σημεία , $D\,\,\kappa \alpha \iota \,\,E$ ενώ η τον κύκλο στο .

Από το φέρνω παράλληλη στην και τέμνει τις $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ME\,$ στα σημεία $N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,Z$ .

Να εξεταστεί αν

α) Αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο και

β) Αν $A > 90^\circ$
Προφανώς λόγω της διαμέτρου τα σημεία είναι τα ίχνη των υψών από τα αντίστοιχα.
Προφανώς ο κύκλος διαμέτρου (κέντρου ) διέρχεται από τα (από τις ορθές πλέον γωνίες $\angle AEB,\angle ADB$ ).
Είναι $\angle MED\overset{\gamma \omega \nu \iota \alpha \,\,\alpha \kappa \tau \iota \nu \alpha \varsigma \,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma }{\mathop{=}}\,{{90}^{0}}-\angle DAE={{90}^{0}}-\angle DAC\overset{\vartriangle ADC}{\mathop{=}}\,\angle ECD$ και συνεπώς εφαπτόμενη του κύκλου $\left( D,H,T,E,C \right)$ και με $MD=ME=\dfrac{AB}{2}$ θα είναι και εφαπτόμενη του ίδιου κύκλου , άρα είναι η πολική του ως προς τον εν λόγω κύκλο και συνεπώς η σειρά $\left( M,T,S,C \right)$ , με $S\equiv MC\cap ED$ είναι αρμονική οπότε και η δέσμη $E.MTSC\equiv E.ZTDN$ είναι αρμονική και με $ET\parallel MZ\Rightarrow N$ το μέσο της και το ζητούμενο έχει επιβεβαιωθεί.

Προφανώς ο ισχυρισμός ισχύει και στην περίπτωση που το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο στο (το σχήμα απλά αλλάζει)

Στάθης

Αυτό ακριβώς, έτσι σχεδιάστηκε ! . Ευχαριστώ πολύ .

Να σας βλέπουμε (εσένα και μερικούς άλλους αστέρες) πιο συχνά .

Ορθόκεντρο και μέσα

Ορθόκεντρο και μέσα

Re: Ορθόκεντρο και μέσα

Re: Ορθόκεντρο και μέσα

Μέλη σε σύνδεση