Τα 2 κάνουν 1

#1

: 2 σε 1...png (18.47 KiB) Προβλήθηκε 723 φορές

Τρεις ίσοι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο και ένας κύκλος $\omega$ εφάπτεται εσωτερικά και στους τρεις.

Από τυχόν σημείο

του $\omega$ φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα στους ίσους κύκλους. Να δείξετε ότι ένα από

αυτά είναι ίσο με το άθροισμα των άλλων δύο.

#2

Θεώρημα Πτολεμαίου για τους κύκλους (Ρ), ( Κ), (Λ), ( Μ) που εφάπτονται εσωτερικά του (ω) μας κάνει.

S.E.Louridas · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Ιούλ 06, 2021 4:24 pm
Τρεις ίσοι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά ανά δύο και ένας κύκλος $\omega$ εφάπτεται εσωτερικά και στους τρεις.
Από τυχόν σημείο του $\omega$ φέρνουμε τα εφαπτόμενα τμήματα στους ίσους κύκλους. Να δείξετε ότι ένα από
αυτά είναι ίσο με το άθροισμα των άλλων δύο.

Ας δούμε και τη διαπραγμάτευση που ακολουθεί.

Είναι καθαρό πως καταρχάς θα χρησιμοποιήσουμε ότι: Αν έχουμε κύκλο $\omega$ , σημείο

εκτός αυτού, το εφαπτόμενο ευθύγραμμο τμήμα

στον κύκλο και μία ευθεία διερχόμενη από το σημείο

που τέμνει τον κύκλο στα σημεία B,C,

τότε, ισχύει

$P{A^2} = PB \cdot PC \Leftrightarrow PA = \sqrt {PB \cdot PC}.$

Εύκολα και άμεσα με βάση το σχήμα που βλέπουμε τα τετράπλευρα $PEHG,\;I{I_2}H{I_1}\;\,\left( {I = PH \cap r} \right)$

είναι όμοια και επειδή οι μικροί κύκλοι είναι ίσοι $GF = I{I_1} \Rightarrow FI{I_1}G$ παραλληλόγραμμο.

Τα ίδια ισχύουν και αριστερά της

δηλαδή $DE = I{I_2} \Rightarrow DE{I_2}I$ παραλληλόγραμμο.

Συνεπώς προκύπτει $\displaystyle{\frac{{PF}}{{PG}} = \frac{{PD}}{{PE}} \Leftrightarrow PF \cdot PE = PD \cdot PG\;\,\left( * \right).}$

Για το εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο HGE

και για το σημείο

του "μικρού" τόξου

,

ισχύει η βασική πρόταση της Γεωμετρίας $PE+PG=PH\:\: (1).$

Εδώ παρατηρούμε ότι: $\displaystyle{\frac{{PF}}{{PI}} = \frac{{PG}}{{PH}},\;\frac{{PD}}{{PI}} = \frac{{PE}}{{PH}} \Rightarrow \frac{{PF + PD}}{{PI}} = \frac{{PG + PE}}{{PH}} = 1 \Rightarrow PF + PD = PI\;\,\left( 2 \right).}$

Ας αναφέρουμε ότι η σχέση (2)

προκύπτει και από την ομοιότητα των τετραπλαέυρων PEHG, PDIF

που μας οδηγεί στην εφαρμογή

της βασικής πρότασης που ήδη χρησιμοποιήσαμε για να οδηγηθούμε στην ισχύ της (1).

Θέλουμε να αποδείξουμε ότι $\sqrt {PF \cdot PG} + \sqrt {PD \cdot PE} = \sqrt {PI \cdot PH}$

άρα αρκεί να αποδείξουμε $PF \cdot PG + PD \cdot PE + 2\sqrt {PF \cdot PG} \cdot \sqrt {PD \cdot PE} = PI \cdot PH$ ή με βάση τις (1), (2)

αρκεί να αποδείξουμε $PF \cdot PE + PD \cdot PG - 2\sqrt {PF \cdot PE} \cdot \sqrt {PD \cdot PG} = 0$ ,

αρκεί ${\left( {\sqrt {PF \cdot PE} - \sqrt {PD \cdot PG} } \right)^2} = 0$

ή τελικά αρκεί να αποδείξουμε $\sqrt {PF \cdot PE} = \sqrt {PD \cdot PG}$ που ισχύει λόγω της (*)

.

: ΣΧ..png (102.74 KiB) Προβλήθηκε 407 φορές

Τα 2 κάνουν 1

Τα 2 κάνουν 1

Re: Τα 2 κάνουν 1

Re: Τα 2 κάνουν 1

Μέλη σε σύνδεση