Μέγιστο γινόμενο 21

KARKAR · #1

: Μέγιστο γινόμενο 21.png (14.28 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές

Οι κύκλοι (O,3)

και

έχουν διάκεντρο : OK=4

και τέμνονται "βόρεια" , στο σημείο

.

Από το

διέρχεται μεταβλητή ευθεία , η οποία τέμνει τον (K)

σε σημείο

, εσωτερικό του (O)

και εν συνεχεία τέμνει τον (O)

σε σημείο

. Υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου : $AT \cdot ST$ $\blacksquare$

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Δευ Ιουν 14, 2021 7:18 pm
Μέγιστο γινόμενο 21.pngΟι κύκλοι και έχουν διάκεντρο : και τέμνονται "βόρεια" , στο σημείο .

Από το διέρχεται μεταβλητή ευθεία , η οποία τέμνει τον σε σημείο , εσωτερικό του

και εν συνεχεία τέμνει τον σε σημείο . Υπολογίστε το μέγιστο του γινομένου : $AT \cdot ST$ $\blacksquare$

$\displaystyle OT \ge OK - TK = 2 \Leftrightarrow O{T^2} \ge 4 \Leftrightarrow - O{T^2} \le - 4.$

: Μεγ. 21.png (13.55 KiB) Προβλήθηκε 434 φορές

$\displaystyle AT \cdot TS = 9 - O{T^2} \le 9 - 4 = 5 \Leftrightarrow$ $\boxed{{(AT \cdot TS)_{\max }} = 5}$ όταν το

είναι το μέσο του OK.

nickchalkida · #3

Ας αχθούν κάθετοι (i), (j)

στα άκρα

,

της διαμέτρου του κύκλου

που συμπίπτει με την διάκεντρο των δύο κύκλων.
Αν η παράλληλος από το

προς την διάκεντρο τέμνει τον

στα

,

και τις ευθείες (j)

,

στα

,

,
τότε επειδή για κάθε θέση του

είναι

$\displaystyle{ AT \cdot TS = CT \cdot TD \leq C'T \cdot TD' }$

θα είναι

$\displaystyle{ (AT \cdot TS)_{max} = (C'T \cdot TD')_{max} }$

αλλά C'T + TD' = ct

και $(C'T \cdot TD')_{max}$ προκύπτει όταν το (TD'-TC')

γίνει ελάχιστο, δηλαδή όταν το

ταυτίζεται με το

. άρα

$\displaystyle{ (AT \cdot TS)_{max} = GF \cdot FG = 5 }$

Μέγιστο γινόμενο 21

Μέγιστο γινόμενο 21

Re: Μέγιστο γινόμενο 21

Re: Μέγιστο γινόμενο 21

Μέλη σε σύνδεση