Κατασκευή ίσων τμημάτων

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12687
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Κατασκευή ίσων τμημάτων

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Ιουν 13, 2021 8:35 am

Κατασκευή  ίσων τμημάτων.png
Κατασκευή ίσων τμημάτων.png (18.76 KiB) Προβλήθηκε 202 φορές
Το A είναι ένα από τα δύο σημεία τομής , των δύο άνισων κύκλων c και k . Χορδή AS του c ,

τέμνει τον k , στο T . Κατασκευάστε χορδή AP του k , η οποία να τέμνει τον c σε σημείο Q ,

έτσι ώστε να προκύψει : ST=PQ .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8044
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Κατασκευή ίσων τμημάτων

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιουν 13, 2021 12:02 pm

Ας δούμε τα σταθερά .

Οι δεδομένοι κύκλοι με κέντρα O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,K, η διάκεντρος OK, οι ακτίνες των κύκλων , τα σημεία T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S και όποια άλλα προκύπτουν απ αυτά .

Αν γράψω τους κύκλους \left( {A,S,P} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( {A,T,Q} \right) αυτοί τέμνονται ακόμα στο D.

Μπορούμε να δείξουμε ότι το τρίγωνο DSP είναι ισοσκελές και το τετράπλευρο

ADKO είναι ισοσκελές τραπέζιο ( λήμμα προς απόδειξη)
κατασκευή ίσων τμημάτων_ok.jpg
κατασκευή ίσων τμημάτων_ok.jpg (30.21 KiB) Προβλήθηκε 177 φορές
Κατασκευή

Σχηματίζω το σταθερό ισοσκελές τραπέζιο ADKO. Ο σταθερός κύκλος \left( {A,S,D} \right)

Τέμνει τον κύκλο k ακόμα στο P και η χορδή του AP τον κύκλο c στο Q.


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 193
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Κατασκευή ίσων τμημάτων

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Δευ Ιουν 14, 2021 12:04 am

Με χαρά διαπίστωσα ότι η ακόλουθη απλή κατασκευή πληρεί τις προϋποθέσεις του προβλήματος.
Αν F είναι το έτερο σημείο τομής των κύκλων, κατασκευάζω γωνία F\widehat{A}P = S\widehat{A}F, γίνεται τότε TS=QP.
Η αιτιολόγηση έχει ώς εξής. Επειδή

\displaystyle{ 
\left. 
\begin{aligned} 
& TM \cdot TQ = AT \cdot TS \cr 
& TQ \cdot QN = AQ \cdot QP \cr 
\end{aligned}  
\right \} \rightarrow {TS \over QP} = {TM \over QN}{AQ \over AT} = {TM \over QN}{QR \over TR}  
}

Άρα για να αποδείξω ότι TS=QP αρκεί να αποδείξω ότι TM \cdot QR = QN \cdot TR. Άλλά

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& TM \cdot QR = QN \cdot TR \rightarrow \cr 
& TM \cdot QR + TR \cdot QR = QN \cdot TR + TR \cdot QR \rightarrow \cr 
& QR(TM +TR) = TR (QN+QR) \rightarrow \cr 
& QR \cdot MR = TR \cdot RN \rightarrow \cr 
& AR \cdot RF = AR \cdot RF \cr 
\end{aligned}  
}

και αφού η τελευταία ισχύει, θα είναι λοιπόν TS=QP.
Συνημμένα
rsz_kat457.png
rsz_kat457.png (54.91 KiB) Προβλήθηκε 142 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Κατασκευή ίσων τμημάτων

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Ιουν 14, 2021 12:37 pm

Μία άλλη απόδειξη στην πολύ ωραία κατασκευή του Νίκου (nickchalkida)
Κατασκευή ίσων τμημάτων.Κ.png
Κατασκευή ίσων τμημάτων.Κ.png (20.34 KiB) Προβλήθηκε 123 φορές
Από τις ίσες κόκκινες εγγεγραμμένες γωνίες είναι BS=BQ, BT=BP και από τα εγγεγραμμένα τετράπλευρα ATBP,

AQBS έχω A\widehat PB=S\widehat TB, B\widehat ST=B\widehat QP. Άρα τα τρίγωνα TSB, PQB είναι ίσα και το ζητούμενο έπεται.


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 193
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Κατασκευή ίσων τμημάτων

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Δευ Ιουν 14, 2021 2:13 pm

... λιτή και απέριττη η απόδειξη του Γιώργου :clap2:


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης