Το μεσαίο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Το μεσαίο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Ιουν 08, 2021 12:58 pm

Το  μεσαίο.png
Το μεσαίο.png (5.61 KiB) Προβλήθηκε 239 φορές
Στο ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο ABC , το M είναι το μέσο της πλευράς AB και τα S , T σημεία

της υποτείνουσας BC , ώστε : BS=4 , CT=3 και : \widehat{SMT}=45^0 . Υπολογίστε το τμήμα ST .



Λέξεις Κλειδιά:
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2098
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Το μεσαίο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Τρί Ιουν 08, 2021 4:17 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 08, 2021 12:58 pm
Το μεσαίο.pngΣτο ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο ABC , το M είναι το μέσο της πλευράς AB και τα S , T σημεία

της υποτείνουσας BC , ώστε : BS=4 , CT=3 και : \widehat{SMT}=45^0 . Υπολογίστε το τμήμα ST .
Εστω ότι NM//AC,\hat{NMS}=\omega ,\hat{NMT}=45-\omega ,\hat{MTS}=\omega

Τα τρίγωνα TSM,TMB είναι όμοια ,γιατί ,\hat{TMS}=\hat{MBT} και γωνία

\hat{MTB} κοινή Αρα

\dfrac{TM}{x+4}=\xfrac{x}{TM}=\dfrac{4MS}{a\sqrt{2}}\Rightarrow

 TM^{2}=x(x+4),(1),MS^{2}=\dfrac{2x^{2}(x+7)^{2}}{16x(x+4)},(2)

Ομοίως από τα όμοια τρίγωνα

NMS,TSM\Rightarrow SM^{2}=x.\dfrac{x-1}{2},(3), 

(2),(3)\Rightarrow 3x^{2}-2x-65=0\Rightarrow x=5
Συνημμένα
Το μεσαίο.png
Το μεσαίο.png (35.08 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το μεσαίο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Ιουν 08, 2021 4:27 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Ιουν 08, 2021 12:58 pm
Το μεσαίο.pngΣτο ισοσκελές και ορθογώνιο τρίγωνο ABC , το M είναι το μέσο της πλευράς AB και τα S , T σημεία

της υποτείνουσας BC , ώστε : BS=4 , CT=3 και : \widehat{SMT}=45^0 . Υπολογίστε το τμήμα ST .
\displaystyle AB = AC = \frac{{(x + 7)\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow BM = \frac{{(x + 7)\sqrt 2 }}{4}.
Το μεσαίο.png
Το μεσαίο.png (10.04 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές
Με νόμο συνημιτόνου διαδοχικά στα τρίγωνα BMS, BMT, SMT βρίσκω:

\displaystyle M{S^2} = \frac{{{x^2} - 2x + 65}}{8},M{T^2} = \frac{{5{x^2} + 34x + 65}}{8} και στη συνέχεια,

\displaystyle {x^2} = \frac{{6{x^2} + 32x + 130}}{8} - \frac{{\sqrt {2({x^2} - 2x + 65)(5{x^2} + 34x + 65)} }}{8},

απ' όπου παίρνω τη δεκτή ρίζα \boxed{x=5}


ΚΟΥΙΖ: Τι σχέση έχει η παρούσα άσκηση με αυτήν;


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8029
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Το μεσαίο

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Ιουν 08, 2021 7:33 pm

το μεσαίο_extra.png
το μεσαίο_extra.png (17.77 KiB) Προβλήθηκε 175 φορές
Αν η κάθετη στο T επί την TM τμήσει την AC στο D ,

τότε τα τρίγωνα CDT\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BSM προκύπτουν ισογώνια και το πεντάγωνο AMSTD εγγράψιμο.

Θέτω : AB = AC = 2k. Έτσι θα έχω: \left\{ \begin{gathered} 
  4\left( {x + 4} \right) = 2{k^2} \hfill \\ 
  x + 7 = 2k\sqrt 2  \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{x = 5}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10648
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Το μεσαίο

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Ιουν 09, 2021 10:14 am

Δανείζομαι από τον Νίκο την εγγραψιμότητα του AMST, οπότε S\widehat AT=45^\circ.
Το μεσαίο.β.png
Το μεσαίο.β.png (20.06 KiB) Προβλήθηκε 110 φορές
Ο κύκλος (A, AB) τέμνει τον (S, 4) στο P (διαφορετικό του B). Εύκολα η AS είναι διχοτόμος της B\widehat AP κι επειδή

B\widehat AC=90^\circ, S\widehat AT=45^\circ, η AT θα είναι διχοτόμος της P\widehat AC. Άρα, TP=3 και S\widehat PT=90^\circ, όπου με Π. Θ \boxed{x=5}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης