Δυνατός λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δυνατός λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Ιουν 05, 2021 11:57 am

Δυνατός  λόγος.png
Δυνατός λόγος.png (16.25 KiB) Προβλήθηκε 159 φορές
Στα άκρα της διαμέτρου AB και στο άκρο C της διαμέτρου CD , κύκλου (O), φέραμε

εφαπτόμενες , οι οποίες τέμνονται στα σημεία P , Q . Η QD τέμνει την AB στο S και

η PS τέμνει την CD στο T . Αν AT \perp CD , υπολογίστε τον λόγο \dfrac{AP}{BQ} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8031
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δυνατός λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Ιουν 06, 2021 11:55 am

Πρώτο βήμα
Ας αγνοήσουμε προσωρινά την όποια καθετότητα στο T

Η QD είναι συμμετροδιάμεσος του \vartriangle BCD που άγεται από την κορυφή D.

Φέρνω τώρα και την AQπου τέμνει στα K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L το πάνω ημικύκλιο και την διάμετρο CD.

Η AQ είναι η από το A συμμετροδιάμεσος του \vartriangle ABC ενώ το τετράπλευρο ABKC είναι αρμονικό .

Η δέσμη D\left( {B,C\backslash K,A} \right) είναι αρμονική .

(ισχύει και για οποιοδήποτε άλλο σημείο του κύκλου , εκπληκτική ιδιότητα για τα αρμονικά τετράπλευρα )

Αν τώρα η DK τέμνει τη διάμετρο AB στο G θα είναι και η τετράδα : \left( {A,G\backslash O,B} \right)
Δυνατός λόγος.png
Δυνατός λόγος.png (33.11 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές
αρμονική και μάλιστα επειδή \boxed{2 = \frac{{AB}}{{AO}} = \frac{{GB}}{{GO}}} το G είναι το βαρύκεντρο του \vartriangle DBC για κάθε θέση του C.
Δεύτερο βήμα .

Προφανώς οι QD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,QA είναι συμμετρικές ως προς της \widehat {BOC} και άρα το T είναι

πάντα βαρύκεντρο του \vartriangle ABC και η AT θα διέρχεται από το σημείο τομής, F, της

QD με το πάνω ημικύκλιο .

Αν τώρα AF \bot CD και η AFκόψει την BQ στο E , το τετράπλευρο AEQP είναι παραλληλόγραμμο , οπότε \boxed{\frac{{PA}}{{BQ}} = \frac{1}{2}}.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: rek2 και 1 επισκέπτης