Χλωμή μεγιστοποίηση

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Χλωμή μεγιστοποίηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μάιος 30, 2021 11:22 am

Χλωμή  μεγιστοποίηση.png
Χλωμή μεγιστοποίηση.png (12.92 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές
Το μεταβλητού μήκους ύψος AD , τριγώνου ABC , διαιρεί την σταθερή βάση BC , σε

τμήματα : BD=d και DC=2d . Φέρουμε και το ύψος BE . ( H το ορθόκεντρο ) .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου HEC και το τότε μήκος του ύψους AD .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Χλωμή μεγιστοποίηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 30, 2021 2:36 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μάιος 30, 2021 11:22 am
Χλωμή μεγιστοποίηση.pngΤο μεταβλητού μήκους ύψος AD , τριγώνου ABC , διαιρεί την σταθερή βάση BC , σε

τμήματα : BD=d και DC=2d . Φέρουμε και το ύψος BE . ( H το ορθόκεντρο ) .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου HEC και το τότε μήκος του ύψους AD .
Έστω AD=x.
Χλωμή μεγιστοποίηση.png
Χλωμή μεγιστοποίηση.png (12 KiB) Προβλήθηκε 115 φορές
Ισχύουν οι σχέσεις: \displaystyle b = \sqrt {{x^2} + 4{d^2}} ,BE \cdot b = x \cdot 3d \Rightarrow \boxed{BE = \frac{{3xd}}{{\sqrt {{x^2} + 4{d^2}} }}} (1)

\displaystyle BH \cdot BE = 3{d^2} \Leftrightarrow (BE - HE)BE = 3{d^2}\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \boxed{HE = \frac{{2d({x^2} - 2{d^2})}}{{x\sqrt {{x^2} + 4{d^2}} }}} (2)

\displaystyle EC = \sqrt {9{d^2} - B{E^2}} \mathop  = \limits^{(1)} \frac{{6d}}{{\sqrt {{x^2} + 4{d^2}} }} και από την (2), \boxed{(HEC) = \frac{{HE \cdot EC}}{2} = \frac{{6{d^2}({x^2} - 2{d^2})}}{{x({x^{}} + 4{d^2})}}}

Με παραγώγους τώρα βρίσκω \boxed{ {(HEC)_{\max }} = \frac{{3(\sqrt {33}  - 1){d^2}}}{{4\sqrt {5 + \sqrt {33} } }}} όταν \boxed{ AD =x= d\sqrt {5 + \sqrt {33} }}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Χλωμή μεγιστοποίηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μάιος 31, 2021 2:29 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μάιος 30, 2021 11:22 am
Χλωμή μεγιστοποίηση.pngΤο μεταβλητού μήκους ύψος AD , τριγώνου ABC , διαιρεί την σταθερή βάση BC , σε

τμήματα : BD=d και DC=2d . Φέρουμε και το ύψος BE . ( H το ορθόκεντρο ) .

Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου HEC και το τότε μήκος του ύψους AD .
Ας είναι K η προβολή του E στη BC. Προφανώς σε ημικύκλιο με διάμετρο το BC ανήκει το E.

Θέτω KC = k\,\,,\,k < 2d και EK = y\,\,,\,\,HD = h.

Δείτε ότι το \boxed{\left( {EHC} \right) = \left( {HDKE} \right) + \left( {EKC} \right) - \left( {HDC} \right)}\,\,\left( 1 \right),

ενώ το τετράπλευρο \left( {HDKE} \right) είναι ορθογώνιο τραπέζιο. Επειδή :

\left\{ \begin{gathered} 
  y = \sqrt {k\left( {3d - k} \right)}  \hfill \\ 
  \frac{h}{y} = \frac{d}{{3d - k}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 
  y = \sqrt {k\left( {3d - k} \right)}  \hfill \\ 
  h = \frac{{yd}}{{3d - k}} \hfill \\  
\end{gathered}  \right. η \left( 1 \right) γίνεται:
Χλωμή Μεγιστοποίηση_κατασκευή_ok.png
Χλωμή Μεγιστοποίηση_κατασκευή_ok.png (17.89 KiB) Προβλήθηκε 80 φορές
\left( {EHC} \right) = f(k) = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {y + h} \right)\left( {2d - k} \right) + ky - 2hd} \right] ή

f(k) = \dfrac{{3d\left( {2d - k} \right)\sqrt {k\left( {3d - k} \right)} }}{{2\left( {3d - k} \right)}} με f'\left( k \right) = \dfrac{{3d\left( {6{d^2} - 9dk + 2{k^2}} \right)\sqrt {k\left( {3d - k} \right)} }}{{4k{{\left( {3d - k} \right)}^2}}}, και

βρίσκω ότι παρουσιάζει μέγιστο για \boxed{k = d\frac{{9 - \sqrt {33} }}{4}} το

\boxed{f\left( {d\frac{{9 - \sqrt {33} }}{4}} \right) = {d^2}\sqrt {\dfrac{{99\sqrt {33}  - 531}}{{32}}} }

Κατασκευή .

Κατασκευάζω το σημείο K σύμφωνα με τα παραπάνω , φέρνω κάθετη στην BC στο K και τέμνει το ημικύκλιο στο E .
Η CE τέμνει στο A την εις το D κάθετη στην BC.

β) Επειδή \boxed{\frac{{AD}}{y} = \frac{{2d}}{k} \Rightarrow AD = \frac{{2yd}}{k} = d\sqrt {\sqrt {33}  + 5} }


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες