Δισδύσκολο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Δισδύσκολο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Μάιος 28, 2021 7:59 pm

Δισδύσκολο.png
Δισδύσκολο.png (11.17 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές
Σημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=2r . Σχεδιάζω την ευθεία SS' \perp AB και την εφαπτομένη

του τόξου σε σημείο P, που είναι παράλληλη προς την SB , η οποία τέμνει την S'S στο T και την AB στο Q .

α) Για ποια θέση του S προκύπτει : PQ=2TP ; ... β) Για ποια θέση του S προκύπτει : TS=SS' ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Δισδύσκολο

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 29, 2021 1:46 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 28, 2021 7:59 pm
Δισδύσκολο.pngΣημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=2r . Σχεδιάζω την ευθεία SS' \perp AB και την εφαπτομένη

του τόξου σε σημείο P, που είναι παράλληλη προς την SB , η οποία τέμνει την S'S στο T και την AB στο Q .

α) Για ποια θέση του S προκύπτει : PQ=2TP ; ... β) Για ποια θέση του S προκύπτει : TS=SS' ;
Δισδύσκολο_a_ok.png
Δισδύσκολο_a_ok.png (26.85 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές
α) Ας είναι O το κέντρο του ημικυκλίου και K η προβολή του P στην AB. Θέτω:

AS' = x\,\,,S'O = y\,,\,OK = z\,\,,\,\,KB = w\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BQ = q .

Η τετράδα \left( {A,B\backslash K,Q} \right) είναι αρμονική , KQ = 2KS'\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BS = 2OK = 2z .

Θα ισχύουν ταυτόχρονα:\left\{ \begin{gathered} 
  x + y = r = z + w \hfill \\ 
  w + q = 2\left( {y + z} \right) \hfill \\ 
  \frac{w}{p} = \frac{{z + r}}{{q + 2r}}\, \hfill \\ 
  2{z^2} = rx\, \hfill \\  
\end{gathered}  \right. . Έτσι έχω: \boxed{x = r\frac{{9 - \sqrt {17} }}{{16}}}

Β) Ομοίως

Τώρα
Δισδύσκολο_b_ok.png
Δισδύσκολο_b_ok.png (12.18 KiB) Προβλήθηκε 157 φορές


Θα ισχύουν ταυτόχρονα:\left\{ \begin{gathered} 
  x + y = r = z + w \hfill \\ 
  q + x = 2r \hfill \\ 
  \frac{w}{p} = \frac{{z + r}}{{q + 2r}}\, \hfill \\ 
  2{z^2} = rx\, \hfill \\  
\end{gathered}  \right. . Έτσι έχω: \boxed{x = r\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Δισδύσκολο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 31, 2021 10:51 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Μάιος 28, 2021 7:59 pm
Δισδύσκολο.pngΣημείο S κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=2r . Σχεδιάζω την ευθεία SS' \perp AB και την εφαπτομένη

του τόξου σε σημείο P, που είναι παράλληλη προς την SB , η οποία τέμνει την S'S στο T και την AB στο Q .

α) Για ποια θέση του S προκύπτει : PQ=2TP ; ... β) Για ποια θέση του S προκύπτει : TS=SS' ;
Για το β) Έστω S'O=x. Το B είναι μέσο του S'Q, οπότε BQ=r+x.
510.png
510.png (13.57 KiB) Προβλήθηκε 99 φορές
\displaystyle T{P^2} = 3T{S^2} = 3S'{S^2} = 3({r^2} - {x^2}) \Leftrightarrow TP = \sqrt {r + x}  \cdot \sqrt {3(r - x)}

\displaystyle Q{P^2} = (r + x)(r + x + 2r) \Leftrightarrow QP = \sqrt {r + x}  \cdot \sqrt {3r + x}

\displaystyle Q{T^2} = 4B{S^2} = 4\left( {{{(x + r)}^2} + {r^2} - {x^2}} \right) \Leftrightarrow QT = 2\sqrt {2rx}  \cdot \sqrt {r + x}

\displaystyle QT = TP + QP \Leftrightarrow 2\sqrt {2rx}  = \sqrt {3(r - x)}  + \sqrt {3r + x}  \Leftrightarrow \boxed{x=r(\sqrt 3-1)}


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες