Ελάχιστο άθροισμα για ειδικούς λόγους

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ελάχιστο άθροισμα για ειδικούς λόγους

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Μάιος 28, 2021 9:51 am

Ελάχιστο άθροισμα.png
Ελάχιστο άθροισμα.png (14.57 KiB) Προβλήθηκε 216 φορές
Οι διαγώνιοι τετραπλεύρου ABCD τέμνονται στο O και είναι OA=2, OB=3, OD=4, OC=8.

Μία ευθεία που διέρχεται από το O τέμνει τις AB, CD στα S, T αντίστοιχα. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του

αθροίσματος \displaystyle \frac{{SB}}{{SA}} + \frac{{TC}}{{TD}}.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 193
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Ελάχιστο άθροισμα για ειδικούς λόγους

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Παρ Μάιος 28, 2021 2:36 pm

Έστω ότι η ST κατασκευάστηκε και ας τέμνει η παράλληλος από το A προς την CD τις ST, DB στα σημεία E, F αντίστοιχα. Τότε

\displaystyle{ 
\triangle AOF \sim \triangle DOC \rightarrow {OA \over OC} = {OF \over OD}  \rightarrow {2 \over 8} = {OF \over 4} \rightarrow OF = 1 
}

Με Μενέλαο στο ABF και διατέμνουσα SO, και επειδή \triangle AOF \sim \triangle DOC θα είναι

\displaystyle{ 
 {SB \over SA}{AE \over EF}{FO \over OB}=1 \rightarrow {SB \over SA}{AE \over EF}=3 \rightarrow {SB \over SA}{TC \over DT}=3 
}

και επειδή το γινόμενο των λόγων είναι σταθερό, το άθροισμά τους γίνεται ελάχιστο όταν είναι ίσοι, δηλαδή όταν

\displaystyle{ 
{SB \over SA}={TC \over DT} = \sqrt{3} 
}
Συνημμένα
rsz_1minlogoi.png
rsz_1minlogoi.png (39.22 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2102
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ελάχιστο άθροισμα για ειδικούς λόγους

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Παρ Μάιος 28, 2021 6:36 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Μάιος 28, 2021 9:51 am
Ελάχιστο άθροισμα.png
Οι διαγώνιοι τετραπλεύρου ABCD τέμνονται στο O και είναι OA=2, OB=3, OD=4, OC=8.

Μία ευθεία που διέρχεται από το O τέμνει τις AB, CD στα S, T αντίστοιχα. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του

αθροίσματος \displaystyle \frac{{SB}}{{SA}} + \frac{{TC}}{{TD}}.
Είναι \dfrac{SB}{SA}=\dfrac{(OSB)}{(OAS)},(1), \dfrac{TC}{TD}=\dfrac{(OTC)}{(ODT)},(2), (1)+(2)\Rightarrow \dfrac{SB}{SA}+\dfrac{CT}{TD}=\dfrac{(OSB)}{(OAS)}+\dfrac{(OTC)}{(OTD)},(3)
\dfrac{(OSB)}{(OAS)}=\dfrac{3}{2}.\dfrac{sin\omega }{sin\phi }=\dfrac{3}{2}x,x=\dfrac{sin\omega }{sin\phi },\dfrac{(OTC)}{(ODT)}=2.\dfrac{1}{x},

Αρα
\dfrac{3}{2}x+2.\dfrac{1}{x}=y\Leftrightarrow 3x^{2}-2yx+4=0,\Delta \geq 0\Rightarrow 

y_{min}=2\sqrt{3},x_{min}=\dfrac{2\sqrt{3}}{3},

\dfrac{SB}{SA}=\sqrt{3}=\dfrac{TC}{TD}
Συνημμένα
Eλάχιστο άθροισμα για ειδικούς λόγους.png
Eλάχιστο άθροισμα για ειδικούς λόγους.png (47.11 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστο άθροισμα για ειδικούς λόγους

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 31, 2021 11:07 am

Να ευχαριστήσω τον Νίκο και τον Γιάννη για τις λύσεις τους και να δώσω μία λίγο διαφορετική από του Νίκου.
Ελάχιστο άθροισμα.β.png
Ελάχιστο άθροισμα.β.png (17.7 KiB) Προβλήθηκε 112 φορές
Οι TS, DA τέμνονται στο P. Δύο Μενέλαοι στα τρίγωνα ADC, ABD με αντίστοιχες διατέμνουσες \displaystyle \overline {POT} ,\overline {PSO} .

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
\dfrac{2}{8} \cdot \dfrac{{TC}}{{TD}} \cdot \dfrac{{DP}}{{PA}} = 1\\ 
\\ 
\dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{{SB}}{{SA}} \cdot \dfrac{{PA}}{{DP}} = 1 
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{SB}}{{SA}} \cdot \frac{{TC}}{{TD}} = 3} κλπ...


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης