Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Μάιος 24, 2021 1:05 pm

Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου.png
Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου.png (21.17 KiB) Προβλήθηκε 261 φορές
Το σημείο T κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r . Το M είναι το μέσο της χορδής AT .

Η ευθεία BM τέμνει το τόξο στο σημείο S . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου SAB .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 24, 2021 7:20 pm

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 24, 2021 1:05 pm
Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου.pngΤο σημείο T κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r . Το M είναι το μέσο της χορδής AT .

Η ευθεία BM τέμνει το τόξο στο σημείο S . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου SAB .
Μέγιστο εμβαδόν.Κ.png
Μέγιστο εμβαδόν.Κ.png (20.64 KiB) Προβλήθηκε 235 φορές
\displaystyle {(SAB)_{\max }} = \frac{{4{r^2}\sqrt 2 }}{9} όταν \displaystyle x = \frac{{r\sqrt 3 }}{3}

Edit: Άρση απόκρυψης.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μάιος 25, 2021 2:23 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Μάιος 24, 2021 1:05 pm
Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου.pngΤο σημείο T κινείται σε ημικύκλιο διαμέτρου AOB=2r . Το M είναι το μέσο της χορδής AT .

Η ευθεία BM τέμνει το τόξο στο σημείο S . Υπολογίστε το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου SAB .
Αρκεί το ύψος SK του \vartriangle SAB να γίνει μέγιστο .

Ας είναι F το σημείο τομής της ακτίνας OT με την SB.

Από το Θ. Μενέλαου στο \vartriangle TAO με διατέμνουσα \overline {MFB} έχω:

\boxed{\dfrac{{TM}}{{MA}} \cdot \dfrac{{AB}}{{BO}} \cdot \dfrac{{OF}}{{FT}} = 1 \Leftrightarrow 1 \cdot 2\dfrac{{OF}}{{FT}} = 1 \Leftrightarrow OF = \dfrac{2}{3}OT = \dfrac{2}{3}r}
Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου.png
Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου.png (21.44 KiB) Προβλήθηκε 193 φορές
Δηλαδή το F διαγράφει το σταθερό ημικύκλιο : \boxed{\left( {O,\dfrac{r}{3}} \right)} .

Μετά απ’ αυτά αβίαστα προκύπτει ότι για να πετύχω το μέγιστο ύψος SK αρκεί να εφάπτεται η SB στο πιο πάνω ημικύκλιο \left( {O,\dfrac{r}{3}} \right).

Τότε: με P η προβολή του O στην SB τα P\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,F\, ταυτίζονται,

PB = \dfrac{{2\sqrt 2 r}}{3}\,\,,\,\,{\left( {POB} \right)_{\max }} = \dfrac{{\sqrt 2 {r^2}}}{9} , οπότε : \boxed{{{\left( {SAB} \right)}_{\max }} = 4{{\left( {POB} \right)}_{\max }} = \dfrac{{4\sqrt 2 {r^2}}}{9}} .

Ευχαριστώ τον Θανάση για την εύστοχη παρατήρηση:

Το F είναι βαρύκεντρο του \vartriangle TAB


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 25, 2021 5:23 pm

Έστω N το μέσο του SB και OS=x οπότε BT=2x. Οι κόκκινες γωνίες είναι ίσες ως οξείες με πλευρές κάθετες.

Άρα τα τρίγωνα ONM, MTB είναι όμοια και \displaystyle \frac{x}{{MB}} = \frac{{MN}}{{2x}} \Leftrightarrow \boxed{MN \cdot MB = 2{x^2}} (1)
Μέγιστο εμβαδόν.Κ.png
Μέγιστο εμβαδόν.Κ.png (20.64 KiB) Προβλήθηκε 151 φορές
\displaystyle AM = MT = \sqrt {{r^2} - {x^2}}  \Rightarrow M{B^2} = M{T^2} + 4{x^2} \Leftrightarrow \boxed{MB^2=3x^2+r^2} (2)

\displaystyle AM \cdot MT = SM \cdot MB \Leftrightarrow A{M^2} = \left( {\frac{{SB}}{2} - MN} \right)MB\mathop  \Leftrightarrow \limits^{(1)} \frac{{SB}}{2}MB = {x^2} + {r^2}

Αλλά, από την ομοιότητα των SAM, TBM είναι \displaystyle SA \cdot MB = 2xAM = 2x\sqrt {{r^2} - {x^2}} και

πολλαπλασιάζοντας κατα μέλη με την προηγούμενη σχέση, \displaystyle \frac{{SA \cdot SB}}{2}M{B^2} = 2x({x^2} + {r^2})\sqrt {{r^2} - {x^2}} \mathop  \Rightarrow \limits^{(2)}

\boxed{(SAB) = \frac{{2x({x^2} + {r^2})\sqrt {{r^2} - {x^2}} }}{{3{x^2} + {r^2}}}} Με τη βοήθεια παραγώγων τώρα, βρίσκω ότι το ζητούμενο εμβαδόν

μεγιστοποιείται όταν \boxed{ x = \frac{{r\sqrt 3 }}{3}} και παίρνει την τιμή \boxed{ {(SAB)_{\max }} = \frac{{4{r^2}\sqrt 2 }}{9}}


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 193
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Τρί Μάιος 25, 2021 10:47 pm

Παρατηρώντας ότι ο γ.τ. του μέσου M είναι ο κύκλος \displaystyle (D, {r \over 2}),
η "υψηλότερη" θέση του S είναι όταν η BS εφάπτεται αυτού του κύκλου,
τότε είναι \displaystyle sin(\alpha) = {1 \over 3} και SA \parallel MD, οπότε

\displaystyle{ 
sin(\alpha)={SA \over 2r}\rightarrow SA={2r \over 3}, \ \ \ SB^2=4r^2-{4r^2 \over 9}={32 \over 9}r^2, \ \ \ 
(SAB)_{max}={1 \over 2}{2r \over 3}{\sqrt{32}r \over 3}={4\sqrt{2}r^2 \over 9} 
}
Συνημμένα
rsz_saabmax.png
rsz_saabmax.png (48.64 KiB) Προβλήθηκε 118 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μέγιστο εμβαδόν ειδικού τριγώνου

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μάιος 25, 2021 11:36 pm

nickchalkida έγραψε:
Τρί Μάιος 25, 2021 10:47 pm
Παρατηρώντας ότι ο γ.τ. του μέσου M είναι ο κύκλος \displaystyle (D, {r \over 2}),
η "υψηλότερη" θέση του S είναι όταν η BS εφάπτεται αυτού του κύκλου,
τότε είναι \displaystyle sin(\alpha) = {1 \over 3} και SA \parallel MD, οπότε

\displaystyle{ 
sin(\alpha)={SA \over 2r}\rightarrow SA={2r \over 3}, \ \ \ SB^2=4r^2-{4r^2 \over 9}={32 \over 9}r^2, \ \ \ 
(SAB)_{max}={1 \over 2}{2r \over 3}{\sqrt{32}r \over 3}={4\sqrt{2}r^2 \over 9} 
}
Πολύ όμορφη βελτίωση :coolspeak: , της ημετέρας διαπραγμάτευσης .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης