Ελάχιστος λόγος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ελάχιστος λόγος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μάιος 23, 2021 9:46 pm

Ελάχιστος  λόγος.png
Ελάχιστος λόγος.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 163 φορές
Επί του ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r κινείται σημείο C . Οι εφαπτόμενες στα άκρα

της χορδής AC , τέμνονται στο σημείο S . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του λόγου \dfrac{BS}{AC} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστος λόγος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Μάιος 24, 2021 8:50 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μάιος 23, 2021 9:46 pm
Ελάχιστος λόγος.pngΕπί του ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r κινείται σημείο C . Οι εφαπτόμενες στα άκρα

της χορδής AC , τέμνονται στο σημείο S . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του λόγου \dfrac{BS}{AC} .
Έστω D η προβολή του C στην AB και OD=x. Είναι, \boxed{AC^2=2r(r+x)}
Ελάχιστος λόγος.Κ.png
Ελάχιστος λόγος.Κ.png (16.08 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές
Από την ομοιότητα των τριγώνων SAO, ADC έχω \displaystyle \frac{{AS}}{{AD}} = \frac{{AO}}{{CD}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {B{S^2} - 4{r^2}} }}{{r + x}} = \frac{r}{{\sqrt {{r^2} - {x^2}} }} \Leftrightarrow

\boxed{B{S^2} = \frac{{{r^2}(5r - 3x)}}{{r - x}}} Άρα, \displaystyle \frac{{B{S^2}}}{{A{C^2}}} = f(x) = \frac{{r(5r - 3x)}}{{2({r^2} - {x^2})}},0 \le x < r, με παράγωγο

\displaystyle f'(x) =  - \frac{{r(3{x^2} - 10rx + 3{r^2})}}{{2{{({r^2} - {x^2})}^2}}} όπου βρίσκω ότι για \boxed{x=\frac{r}{3}} παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με \dfrac{9}{4}, οπότε

\boxed{{\left( {\frac{{BS}}{{AC}}} \right)_{\min }} = \sqrt {f\left( {\frac{r}{3}} \right)}  = \frac{3}{2}}



ΥΓ. Η λύση έγινε για D σημείο του τμήματος OB. Αν το D ανήκει στο AO εργαζόμαστε ανάλογα. Το αποτέλεσμα δεν αλλάζει.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελάχιστος λόγος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μάιος 25, 2021 12:43 am

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μάιος 23, 2021 9:46 pm
Ελάχιστος λόγος.pngΕπί του ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r κινείται σημείο C . Οι εφαπτόμενες στα άκρα

της χορδής AC , τέμνονται στο σημείο S . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του λόγου \dfrac{BS}{AC} .
Ελάχιστος λόγος_Ευκλείδεια_Ανάλυση.png
Ελάχιστος λόγος_Ευκλείδεια_Ανάλυση.png (23.28 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές
Ανάλυση :
Έστω M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N τα μέσα των SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC. Επί της ουσίας τώρα ζητώ το ελάχιστο του λόγου, \dfrac{{AM}}{{AN}}.

Έστω T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D τα σημεία τομής της AM με τις παράλληλες , OS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC. Αν E το μέσο του NC από το ορθογώνιο τραπέζιο NTDC έχω ότι M είναι μέσο του TD

Θέτω, \boxed{AN = b\,\,,\,\,AT = k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,TM = MD = m\,}

Θα ισχύει : \boxed{\frac{{SB}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{k + m}}{b} = \frac{k}{b} + \frac{m}{b} \geqslant 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}}
Ελάχιστος λόγος_Ευκλείδεια_κατασκευή.png
Ελάχιστος λόγος_Ευκλείδεια_κατασκευή.png (12.3 KiB) Προβλήθηκε 88 φορές
Το ίσον ισχύει όταν οι ευθείες AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD συμπέσουν και θα προκύψει ( σχήμα)


GA = GB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AJ = 2GB , δηλαδή οι SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC τέμνονται πάνω στη μεσοκάθετο της διαμέτρου ,

ενώ J είναι η προβολή του C στη διάμετρο .


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης