Ελάχιστος λόγος

KARKAR · #1

: Ελάχιστος λόγος.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 361 φορές

Επί του ημικυκλίου διαμέτρου AOB=2r

κινείται σημείο

. Οι εφαπτόμενες στα άκρα

της χορδής

, τέμνονται στο σημείο

. Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του λόγου $\dfrac{BS}{AC}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 23, 2021 9:46 pm
Ελάχιστος λόγος.pngΕπί του ημικυκλίου διαμέτρου κινείται σημείο . Οι εφαπτόμενες στα άκρα

της χορδής , τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του λόγου $\dfrac{BS}{AC}$ .

Έστω

η προβολή του

στην

και

Είναι, $\boxed{AC^2=2r(r+x)}$

: Ελάχιστος λόγος.Κ.png (16.08 KiB) Προβλήθηκε 333 φορές

Από την ομοιότητα των τριγώνων SAO, ADC

έχω $\displaystyle \frac{{AS}}{{AD}} = \frac{{AO}}{{CD}} \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {B{S^2} - 4{r^2}} }}{{r + x}} = \frac{r}{{\sqrt {{r^2} - {x^2}} }} \Leftrightarrow$

$\boxed{B{S^2} = \frac{{{r^2}(5r - 3x)}}{{r - x}}}$ Άρα, $\displaystyle \frac{{B{S^2}}}{{A{C^2}}} = f(x) = \frac{{r(5r - 3x)}}{{2({r^2} - {x^2})}},0 \le x < r,$ με παράγωγο

$\displaystyle f'(x) = - \frac{{r(3{x^2} - 10rx + 3{r^2})}}{{2{{({r^2} - {x^2})}^2}}}$ όπου βρίσκω ότι για $\boxed{x=\frac{r}{3}}$ παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με $\dfrac{9}{4},$ οπότε

$\boxed{{\left( {\frac{{BS}}{{AC}}} \right)_{\min }} = \sqrt {f\left( {\frac{r}{3}} \right)} = \frac{3}{2}}$

ΥΓ. Η λύση έγινε για

σημείο του τμήματος OB.

Αν το

ανήκει στο

εργαζόμαστε ανάλογα. Το αποτέλεσμα δεν αλλάζει.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Κυρ Μάιος 23, 2021 9:46 pm
Ελάχιστος λόγος.pngΕπί του ημικυκλίου διαμέτρου κινείται σημείο . Οι εφαπτόμενες στα άκρα

της χορδής , τέμνονται στο σημείο . Υπολογίστε την ελάχιστη τιμή του λόγου $\dfrac{BS}{AC}$ .

: Ελάχιστος λόγος_Ευκλείδεια_Ανάλυση.png (23.28 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές

Ανάλυση :
Έστω $M\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ τα μέσα των $SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ . Επί της ουσίας τώρα ζητώ το ελάχιστο του λόγου, $\dfrac{{AM}}{{AN}}$ .

Έστω $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,D$ τα σημεία τομής της

με τις παράλληλες , $OS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BC$ . Αν

το μέσο του

από το ορθογώνιο τραπέζιο NTDC

έχω ότι

είναι μέσο του

Θέτω, $\boxed{AN = b\,\,,\,\,AT = k\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,TM = MD = m\,}$

Θα ισχύει : $\boxed{\frac{{SB}}{{AC}} = \frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{k + m}}{b} = \frac{k}{b} + \frac{m}{b} \geqslant 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}}$

: Ελάχιστος λόγος_Ευκλείδεια_κατασκευή.png (12.3 KiB) Προβλήθηκε 286 φορές

Το ίσον ισχύει όταν οι ευθείες $AC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AD$ συμπέσουν και θα προκύψει ( σχήμα)

$GA = GB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AJ = 2GB$ , δηλαδή οι $SB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,AC$ τέμνονται πάνω στη μεσοκάθετο της διαμέτρου ,

ενώ

είναι η προβολή του

στη διάμετρο .

Ελάχιστος λόγος

Ελάχιστος λόγος

Re: Ελάχιστος λόγος

Re: Ελάχιστος λόγος

Μέλη σε σύνδεση