Ελάχιστη περίμετρος

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Ελάχιστη περίμετρος

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 16, 2021 6:08 pm

Ελάχιστη περίμετρος..png
Ελάχιστη περίμετρος..png (14.37 KiB) Προβλήθηκε 273 φορές
Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ABC (\widehat A=90^\circ) με \widehat C=60^\circ και AC=1. Το σημείο D ανήκει στο τόξο \overset\frown {AB}

του κύκλου που διέρχεται από το A και εφάπτεται της BC στο B. Τα σημεία E, F βρίσκονται πάνω στις πλευρές

AC, BC αντίστοιχα. Να βρείτε την ελάχιστη περίμετρο του τριγώνου DE F και τις θέσεις των σημείων D, E, F.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8030
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ελάχιστη περίμετρος

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 16, 2021 11:33 pm

Πρόβλημα ελάχιστου δρόμου άρα πρόβλημα διαδρομής του φωτός .

Μια προσπάθεια κατασκευής των σημείων που πιστεύω ότι δίδει λύση στο πρόβλημα αλλά δεν την έχω ακόμα τεκμηριωμένη .

Σταθερό είναι το σημείο D που η διακεντρική ευθεία AO τέμνει το δεδομένο τόξο , αλλά και το σημείο E που η μεσοκάθετος του AD τέμνει την AC.
Ελάχιστη περίμετρος.png
Ελάχιστη περίμετρος.png (15.39 KiB) Προβλήθηκε 222 φορές
Προφανώς η μεσοκάθετη αυτή θα διέρχεται από το O. Τότε DE = AE.

Τώρα το F προκύπτει από το κλασσικό πρόβλημα του μπιλιάρδου .

Δηλαδή θεωρούμε το συμμετρικό G του E ως προς την BC και η GD τέμνει την BC στο F.


Οι υπολογισμοί μετά δίνουν: \boxed{{{\left( {DE + EF + FD} \right)}_{\min }} = \sqrt {21}  - 3}

Ανάλυση: Έστω λυμένο το πρόβλημα
Ελάχιστη περίμετρός _new_Ανάλυση.png
Ελάχιστη περίμετρός _new_Ανάλυση.png (24.25 KiB) Προβλήθηκε 181 φορές
Ας είναι T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S τα συμμετρικά του D ως προς τις CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CA τότε η περίμετρος του τριγώνου FED θα είναι το άθροισμα :

TF + FE + ES που για να γίνεται ελάχιστη πρέπει τα σημεία T,F,E,S να ανήκουν στην ίδια ευθεία .

Άρα σύμφωνα με τους νόμους της φυσικής το D θα ανήκει στη διχοτόμο της \widehat {FDE}

και αυτό θα συμβεί αν το D είναι το σημείο τομής του τόξου με την διακεντρική ευθεία CO

η κατασκευή γίνεται τώρα ακόμα πιο εύκολα .

Ενώνω τα σταθερά S,T και προκύπτουν τα E,F


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστη περίμετρος

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 18, 2021 11:05 am

Doloros έγραψε:
Κυρ Μάιος 16, 2021 11:33 pm
Πρόβλημα ελάχιστου δρόμου άρα πρόβλημα διαδρομής του φωτός .

Μια προσπάθεια κατασκευής των σημείων που πιστεύω ότι δίδει λύση στο πρόβλημα αλλά δεν την έχω ακόμα τεκμηριωμένη .

Σταθερό είναι το σημείο D που η διακεντρική ευθεία AO τέμνει το δεδομένο τόξο , αλλά και το σημείο E που η μεσοκάθετος του AD τέμνει την AC.

Ελάχιστη περίμετρος.png

Προφανώς η μεσοκάθετη αυτή θα διέρχεται από το O. Τότε DE = AE.

Τώρα το F προκύπτει από το κλασσικό πρόβλημα του μπιλιάρδου .

Δηλαδή θεωρούμε το συμμετρικό G του E ως προς την BC και η GD τέμνει την BC στο F.

Οι υπολογισμοί μετά δίνουν: \boxed{{{\left( {DE + EF + FD} \right)}_{\min }} = \sqrt {21}  - 3}

Ανάλυση: Έστω λυμένο το πρόβλημα

Ελάχιστη περίμετρός _new_Ανάλυση.png

Ας είναι T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S τα συμμετρικά του D ως προς τις CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CA τότε η περίμετρος του τριγώνου FED θα είναι το άθροισμα :

TF + FE + ES που για να γίνεται ελάχιστη πρέπει τα σημεία T,F,E,S να ανήκουν στην ίδια ευθεία .

Άρα σύμφωνα με τους νόμους της φυσικής το D θα ανήκει στη διχοτόμο της \widehat {FDE}

και αυτό θα συμβεί αν το D είναι το σημείο τομής του τόξου με την διακεντρική ευθεία CO

η κατασκευή γίνεται τώρα ακόμα πιο εύκολα .

Ενώνω τα σταθερά S,T και προκύπτουν τα E,F
Άρχοντας.jpg
Άρχοντας.jpg (20.06 KiB) Προβλήθηκε 144 φορές
Ο Άρχοντας των κατασκευών :clap2: :clap2:


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ελάχιστη περίμετρος

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 19, 2021 10:27 am

Διαφορετικά για τον εντοπισμό του σημείου D (χωρίς τους νόμους της Φυσικής).
Ελάχιστη περίμετρος.β.png
Ελάχιστη περίμετρος.β.png (11.82 KiB) Προβλήθηκε 93 φορές
Από νόμο συνημιτόνου στο \displaystyle CST έχω \displaystyle {ST^2} = C{S^2} + C{T^2} - 2CS \cdot CT\cos 120^\circ. Αλλά, CS=CT=CD,

οπότε \boxed{ST=CD\sqrt 3} Άρα η περίμετρος ελαχιστοποιείται όταν ελαχιστοποιείται το μήκος του CD και αυτό συμβαίνει

όταν η ευθεία CD διέρχεται από το κέντρο O του κύκλου. Συνεχίζοντας τώρα τον υπολογισμό, είναι:

\displaystyle C{B^2} = {(R + CD)^2} - {R^2} \Leftrightarrow 4 = 3 + 2\sqrt 3 CD + C{D^2} - 3 \Leftrightarrow CD = \sqrt 7  - \sqrt 3

και με αντικατάσταση \boxed{S{T_{\min }} = \sqrt {21}  - 3}



Χρησιμοποιήθηκε ότι R=\sqrt 3. Προφανές, αφού AB=\sqrt 3 και A\widehat BO=60^\circ.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες