Άθροισμα γινομένων και εφαπτομένη 106

KARKAR · #1

: Άθροισμα γινομέμων και εφαπτομένη 106.png (22.91 KiB) Προβλήθηκε 364 φορές

Στον κύκλο (O,5)

, θεωρούμε χορδή

με απόστημα OM=3

και σημείο

του κύκλου , ώστε : SM=7

.

Τα σημεία L,N

της χορδής , είναι τέτοια ώστε : AL=BN=x

. Οι

τέμνουν τον κύκλο στα P ,T

.

α) Υπολογίστε την τιμή του : $SL\cdot SP+SN\cdot ST$ ........... β) Αν : x=1

, υπολογίστε την : $\tan\widehat{LSN}$ .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 15, 2021 7:48 am
Άθροισμα γινομέμων και εφαπτομένη 106.pngΣτον κύκλο , θεωρούμε χορδή με απόστημα και σημείο του κύκλου , ώστε : .

Τα σημεία της χορδής , είναι τέτοια ώστε : . Οι τέμνουν τον κύκλο στα .

α) Υπολογίστε την τιμή του : $SL\cdot SP+SN\cdot ST$ ........... β) Αν : , υπολογίστε την : $\tan\widehat{LSN}$ .

Εύκολα βρίσκω AB=8.

: Άθροισμα γινομένων και εφαπτομένη.png (12.41 KiB) Προβλήθηκε 354 φορές

α) $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} SL \cdot SP = S{L^2} + x(8 - x)\\ \\ SN \cdot ST = S{N^2} + x(8 - x) \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{SL \cdot SP + SN \cdot ST = S{L^2} + S{N^2} + 2x(8 - x)}$ (1)

Θ. διαμέσων, $\displaystyle S{L^2} + S{N^2} = 2 \cdot {7^2} + \frac{{{{(8 - 2x)}^2}}}{2}\mathop \Rightarrow \limits^{(1)}$ $\boxed{SL \cdot SP + SN \cdot ST = 130}$

: Άθροισμα γινομένων και εφαπτομένη.β.png (15.25 KiB) Προβλήθηκε 343 φορές

β) Με νόμο συνημιτόνου στο OSM

βρίσκω $\displaystyle \cos \omega = \frac{{11}}{{14}} = \sin \varphi \Leftrightarrow \cos \varphi = \frac{{5\sqrt 3 }}{{14}}$ και εφαρμόζοντας

τον ίδιο νόμο στο SML

παίρνω $SL^2=58-15\sqrt 3.$ Από το πρώτο όμως ερώτημα για x=1

είναι

$\displaystyle 130 = S{L^2} + S{N^2} + 14 \Leftrightarrow S{L^2} + S{N^2} = 116$ και $\displaystyle S{N^2} = 58 + 15\sqrt 3 \Leftrightarrow$ $\boxed{S{L^2}S{N^2} = 2689}$ (2)

Με νόμο τώρα συνημιτόνου στο SLN

και από τη (2),

είναι $\displaystyle \cos \theta = \frac{{40}}{{\sqrt {2689} }} \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \frac{{33}}{{40}}}$

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 15, 2021 7:48 am
Άθροισμα γινομέμων και εφαπτομένη 106.pngΣτον κύκλο , θεωρούμε χορδή με απόστημα και σημείο του κύκλου , ώστε : .

Τα σημεία της χορδής , είναι τέτοια ώστε : . Οι τέμνουν τον κύκλο στα .

α) Υπολογίστε την τιμή του : $SL\cdot SP+SN\cdot ST$ ........... β) Αν : , υπολογίστε την : $\tan\widehat{LSN}$ .

Το σημείο

είναι σταθερό.

Έτσι στην περίπτωση που LA = NB = 1

το τρίγωνο SLN

είναι σταθερό και
κατασκευάσιμο γεωμετρικά άρα επιλύεται ως προς όλα του τα στοιχεία .

Ας δούμε όμως την απάντηση στο β) ερώτημα του Θεματοδότη με αναλυτική γεωμετρία .

Αρχή των αξόνων επιλέγω το σημείο $M\left( {0,0} \right)$ .

$S\left( {x,y} \right)\,:\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} = 49 \hfill \\ {x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει ο ριζικός άξονας, SS'

των δύο κύκλων και έχει εξίσωση:

$y = \dfrac{{11}}{2}$ άρα το

(δυτικό σημείο ) είναι : $S\left( {\dfrac{{ - 5\sqrt 3 }}{2},\dfrac{{11}}{2}} \right)$ .

: Αθροισμα γινομένων και εφαπτομένη 106_b.png (29.14 KiB) Προβλήθηκε 329 φορές

Επειδή $N\left( {3,0} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,L\left( { - 3,0} \right)$ οι συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών , $SN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SL$ είναι:

$a = - \dfrac{{11}}{{5\sqrt 3 + 6}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = - \dfrac{{11}}{{5\sqrt 3 - 6}}$ και άρα $\tan \theta = \left| {\dfrac{{a - b}}{{1 + ab}}} \right| = \dfrac{{33}}{{40}}$ αφού η γωνία $\theta$ είναι οξεία.

Άθροισμα γινομένων και εφαπτομένη 106

Άθροισμα γινομένων και εφαπτομένη 106

Re: Άθροισμα γινομένων και εφαπτομένη 106

Re: Άθροισμα γινομένων και εφαπτομένη 106

Μέλη σε σύνδεση