Άθροισμα γινομένων και εφαπτομένη 106

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Άθροισμα γινομένων και εφαπτομένη 106

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Σάβ Μάιος 15, 2021 7:48 am

Άθροισμα  γινομέμων και εφαπτομένη 106.png
Άθροισμα γινομέμων και εφαπτομένη 106.png (22.91 KiB) Προβλήθηκε 135 φορές
Στον κύκλο (O,5) , θεωρούμε χορδή AB με απόστημα OM=3 και σημείο S του κύκλου , ώστε : SM=7 .

Τα σημεία L,N της χορδής , είναι τέτοια ώστε : AL=BN=x . Οι SL , SN τέμνουν τον κύκλο στα P ,T .

α) Υπολογίστε την τιμή του : SL\cdot SP+SN\cdot ST ........... β) Αν : x=1 , υπολογίστε την : \tan\widehat{LSN} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Άθροισμα γινομένων και εφαπτομένη 106

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Μάιος 15, 2021 10:21 am

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μάιος 15, 2021 7:48 am
Άθροισμα γινομέμων και εφαπτομένη 106.pngΣτον κύκλο (O,5) , θεωρούμε χορδή AB με απόστημα OM=3 και σημείο S του κύκλου , ώστε : SM=7 .

Τα σημεία L,N της χορδής , είναι τέτοια ώστε : AL=BN=x . Οι SL , SN τέμνουν τον κύκλο στα P ,T .

α) Υπολογίστε την τιμή του : SL\cdot SP+SN\cdot ST ........... β) Αν : x=1 , υπολογίστε την : \tan\widehat{LSN} .
Εύκολα βρίσκω AB=8.
Άθροισμα γινομένων και εφαπτομένη.png
Άθροισμα γινομένων και εφαπτομένη.png (12.41 KiB) Προβλήθηκε 125 φορές
α) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
SL \cdot SP = S{L^2} + x(8 - x)\\ 
\\ 
SN \cdot ST = S{N^2} + x(8 - x) 
\end{array} \right. \Rightarrow \boxed{SL \cdot SP + SN \cdot ST = S{L^2} + S{N^2} + 2x(8 - x)} (1)

Θ. διαμέσων, \displaystyle S{L^2} + S{N^2} = 2 \cdot {7^2} + \frac{{{{(8 - 2x)}^2}}}{2}\mathop  \Rightarrow \limits^{(1)} \boxed{SL \cdot SP + SN \cdot ST = 130}

Άθροισμα γινομένων και εφαπτομένη.β.png
Άθροισμα γινομένων και εφαπτομένη.β.png (15.25 KiB) Προβλήθηκε 114 φορές
β) Με νόμο συνημιτόνου στο OSM βρίσκω \displaystyle \cos \omega  = \frac{{11}}{{14}} = \sin \varphi  \Leftrightarrow \cos \varphi  = \frac{{5\sqrt 3 }}{{14}} και εφαρμόζοντας

τον ίδιο νόμο στο SML παίρνω SL^2=58-15\sqrt 3. Από το πρώτο όμως ερώτημα για x=1 είναι

\displaystyle 130 = S{L^2} + S{N^2} + 14 \Leftrightarrow S{L^2} + S{N^2} = 116 και \displaystyle S{N^2} = 58 + 15\sqrt 3  \Leftrightarrow \boxed{S{L^2}S{N^2} = 2689} (2)

Με νόμο τώρα συνημιτόνου στο SLN και από τη (2), είναι \displaystyle \cos \theta  = \frac{{40}}{{\sqrt {2689} }} \Leftrightarrow \boxed{\tan \theta  = \frac{{33}}{{40}}}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Άθροισμα γινομένων και εφαπτομένη 106

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 15, 2021 7:45 pm

KARKAR έγραψε:
Σάβ Μάιος 15, 2021 7:48 am
Άθροισμα γινομέμων και εφαπτομένη 106.pngΣτον κύκλο (O,5) , θεωρούμε χορδή AB με απόστημα OM=3 και σημείο S του κύκλου , ώστε : SM=7 .

Τα σημεία L,N της χορδής , είναι τέτοια ώστε : AL=BN=x . Οι SL , SN τέμνουν τον κύκλο στα P ,T .

α) Υπολογίστε την τιμή του : SL\cdot SP+SN\cdot ST ........... β) Αν : x=1 , υπολογίστε την : \tan\widehat{LSN} .
Το σημείο S είναι σταθερό.

Έτσι στην περίπτωση που LA = NB = 1 το τρίγωνο SLN είναι σταθερό και
κατασκευάσιμο γεωμετρικά άρα επιλύεται ως προς όλα του τα στοιχεία .

Ας δούμε όμως την απάντηση στο β) ερώτημα του Θεματοδότη με αναλυτική γεωμετρία .

Αρχή των αξόνων επιλέγω το σημείο M\left( {0,0} \right) .

S\left( {x,y} \right)\,:\left\{ \begin{gathered} 
  {x^2} + {y^2} = 49 \hfill \\ 
  {x^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25 \hfill \\  
\end{gathered}  \right.

Με αφαίρεση κατά μέλη προκύπτει ο ριζικός άξονας, SS' των δύο κύκλων και έχει εξίσωση:

y = \dfrac{{11}}{2} άρα το S (δυτικό σημείο ) είναι : S\left( {\dfrac{{ - 5\sqrt 3 }}{2},\dfrac{{11}}{2}} \right) .
Αθροισμα γινομένων και εφαπτομένη 106_b.png
Αθροισμα γινομένων και εφαπτομένη 106_b.png (29.14 KiB) Προβλήθηκε 100 φορές
Επειδή N\left( {3,0} \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,L\left( { - 3,0} \right) οι συντελεστές διεύθυνσης των ευθειών , SN\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SL είναι:

a =  - \dfrac{{11}}{{5\sqrt 3  + 6}}\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b =  - \dfrac{{11}}{{5\sqrt 3  - 6}} και άρα \tan \theta  = \left| {\dfrac{{a - b}}{{1 + ab}}} \right| = \dfrac{{33}}{{40}} αφού η γωνία \theta είναι οξεία.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης