Ημιεργασίες

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12688
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ημιεργασίες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Μάιος 11, 2021 8:26 pm

Ημιεργασίες.png
Ημιεργασίες.png (14.75 KiB) Προβλήθηκε 206 φορές
Στην διάμετρο AB=10 ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο S , ώστε SB=3 . Γράφουμε και το

ημικύκλιο διαμέτρου AS , επί της οποίας ( διαμέτρου ) κινείται σημείο T . Η κάθετη της AS στο T ,

τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο σημείο M και το μεγάλο στο N .

α) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{AM}{AN} ... β) Βρείτε την θέση του T , για την οποία προκύπτει : NM=MT .



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2083
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ημιεργασίες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μάιος 11, 2021 11:08 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Μάιος 11, 2021 8:26 pm
Ημιεργασίες.pngΣτην διάμετρο AB=10 ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο S , ώστε SB=3 . Γράφουμε και το

ημικύκλιο διαμέτρου AS , επί της οποίας ( διαμέτρου ) κινείται σημείο T . Η κάθετη της AS στο T ,

τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο σημείο M και το μεγάλο στο N .

α) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{AM}{AN} ... β) Βρείτε την θέση του T , για την οποία προκύπτει : NM=MT .
AN^2=AT.AB=10AT και  AM^2=AT.AS=7AT .Με διαίρεση παίρνουμε  \dfrac{AM}{AN}= \sqrt{ \dfrac{7}{10} }

Με Π.Θ στα τρίγωνα AMT,ANT έχουμε  AM^2=x^2+AT^2 και  AN^2=4x^2+AT^2

Με διαίρεση  \dfrac{7}{10} = \dfrac{1+y^2}{1+4y^2} όπου  y= \dfrac{x}{AT}=tan \theta .Έτσι ,εύκολα βρίσκουμε

y^2=tan^2 \theta = \dfrac{1}{6}= \dfrac{MS^2}{MA^2} κι από MS^2+MA^2=49  \Rightarrow MS^2=7 \Rightarrow 7ST=7 \Rightarrow ST=1
Ημιεργασίες.png
Ημιεργασίες.png (16.77 KiB) Προβλήθηκε 176 φορές


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8045
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ημιεργασίες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τετ Μάιος 12, 2021 8:49 am

α) Θ Ευκλείδη στα ορθογώνια τρίγωνα NAS\,\,\kappa \alpha \iota \,\,MAB.

\left\{ \begin{gathered} 
  A{M^2} = 7AT \hfill \\ 
  A{N^2} = 10AT \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow \boxed{\frac{{AM}}{{AN}} = \sqrt {\frac{7}{{10}}} }
ημιεργασίες.png
ημιεργασίες.png (17.16 KiB) Προβλήθηκε 147 φορές
β) \left\{ \begin{gathered} 
  M{T^2} = x\left( {7 - x} \right) \hfill \\ 
  4M{T^2} = N{T^2} = \left( {7 - x} \right)\left( {x + 3} \right) \hfill \\  
\end{gathered}  \right. \Rightarrow 4x\left( {7 - x} \right) = \left( {7 - x} \right)\left( {3 + x} \right) \Rightarrow x = 1


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10655
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ημιεργασίες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τετ Μάιος 12, 2021 5:07 pm

KARKAR έγραψε:
Τρί Μάιος 11, 2021 8:26 pm
Ημιεργασίες.pngΣτην διάμετρο AB=10 ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο S , ώστε SB=3 . Γράφουμε και το

ημικύκλιο διαμέτρου AS , επί της οποίας ( διαμέτρου ) κινείται σημείο T . Η κάθετη της AS στο T ,

τέμνει το μικρό ημικύκλιο στο σημείο M και το μεγάλο στο N .

α) Υπολογίστε τον λόγο : \dfrac{AM}{AN} ... β) Βρείτε την θέση του T , για την οποία προκύπτει : NM=MT .

α) Όπως οι προηγούμενοι. Για AT=x, είναι \displaystyle A{M^2} = 7x,A{N^2} = 10x,... κλπ.
Ημιεργασίες.png
Ημιεργασίες.png (13.36 KiB) Προβλήθηκε 120 φορές
β) 1ο θεώρημα διαμέσων στο ATN:

\displaystyle A{N^2} + A{T^2} = 2A{M^2} + \frac{{A{T^2}}}{2} \Leftrightarrow 10x + {x^2} = 2 \cdot 7x + \frac{{x(10 - x)}}{2} \Leftrightarrow \boxed{x=6}


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 193
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Ημιεργασίες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Πέμ Μάιος 13, 2021 10:26 am

Για το β).
Όταν NM=MT θα είναι tan(\beta) = 2\tan(\alpha). Τότε

\displaystyle{ 
{\displaystyle {TS \over MT} \over \displaystyle {TB \over TN}} = {1 \over 2} \rightarrow 
{\displaystyle {TS \over MT} \over \displaystyle {TB \over 2 \cdot MT}} = {1 \over 2} \rightarrow 
{TS \over TB}  = {1 \over 4} \rightarrow TS = 1 
}
Συνημμένα
rsz_1imiergasies.png
rsz_1imiergasies.png (39.48 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης