Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7985
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Σάβ Μάιος 08, 2021 6:53 pm

Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17.png
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17.png (19.82 KiB) Προβλήθηκε 267 φορές
Δίδεται κύκλος και διάμετρός του \overline {AOB} . Στην ακτίνα OA ( πιο κοντά στο A) θεωρώ σταθερό σημείο D .

Στην ακτίνα OB ( πιο κοντά στο O) θεωρώ σταθερό σημείο E.

Να εντοπιστεί ( με κανόνα και διαβήτη) σημείο M του κύκλου τέτοιο ώστε:

αν οι ημιευθείες MD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ME κόψουν τον κύκλο στα Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H αντίστοιχα , η χορδή ZH να είναι παράλληλη στη διάμετρο AB.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 177
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Σάβ Μάιος 08, 2021 10:53 pm

[Δίνω μόνο την κατασκευή, όχι την ανάλυση]

Στα σημεία D, E φέρνω καθέτους επί της AB οι οποίες τέμνουν τον κύκλο (O,OA) στα C, F αντίστοιχα.
Κατασκευάζω τον Απολλώνιο κύκλο με λόγο αποστάσεων από τα D, E ίσο με CD/EF.
Η τομή του Απολλώνιου κύκλου με τον αρχικό προσδιορίζει το σημείο M, οπότε και τα Z, H.
Συνημμένα
rsz_apollo113.png
rsz_apollo113.png (55.01 KiB) Προβλήθηκε 233 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10573
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Κυρ Μάιος 09, 2021 9:10 am

nickchalkida έγραψε:
Σάβ Μάιος 08, 2021 10:53 pm
[Δίνω μόνο την κατασκευή, όχι την ανάλυση]

Στα σημεία D, E φέρνω καθέτους επί της AB οι οποίες τέμνουν τον κύκλο (O,OA) στα C, F αντίστοιχα.
Κατασκευάζω τον Απολλώνιο κύκλο με λόγο αποστάσεων από τα D, E ίσο με CD/EF.
Η τομή του Απολλώνιου κύκλου με τον αρχικό προσδιορίζει το σημείο M, οπότε και τα Z, H.
Ωραίος! :clap2:


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 177
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Κυρ Μάιος 09, 2021 3:47 pm

Ευχαριστώντας την ενθάρρυνση (Νίκου, Γιώργου) και επειδή ακόμα χρωστάω την ανάλυση ... η ανάλυση κάτωθι.

Έστω ότι κατασκευάστηκε. Τότε τα σημεία A, B, D, E αλλά και τα σημεία M, Z, H θα είναι ορισμένα,
καθώς και όλοι οι λόγοι των τμημάτων που προσδιορίζονται από αυτά. Επειδή τότε AB \parallel ZH θα είναι

\displaystyle{ 
{DM \over DZ} = {EM \over EH} 
}

αλλά είναι

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& DM \cdot DZ = AD \cdot DB \rightarrow {DM \over DZ} ={AD \cdot DB \over DZ^2} \cr 
& EM \cdot EH = AE \cdot EB \rightarrow {EM \over EH} ={AE \cdot EB \over EH^2} \cr 
\end{aligned} 
}

άρα τότε θα είναι

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& {AD \cdot DB \over DZ^2} ={AE \cdot EB \over EH^2}  \rightarrow \cr 
& \cr 
& {DZ^2 \over EH^2}  = {AD \cdot DB \over AE \cdot EB}  = {CD^2 \over EF^2} \rightarrow  \cr 
& \cr 
& {DZ \over EH} =  {MD \over ME} = {CD \over EF} \cr 
\end{aligned} 
}

Δηλαδή το M έχει σταθερό λόγο αποστάσεων από τα D, E που είναι ίσος με CD / EF.
Συνημμένα
rsz_apollo113.png
rsz_apollo113.png (55.01 KiB) Προβλήθηκε 194 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12650
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Μάιος 09, 2021 7:08 pm

Κρητική  παραλληλία.png
Κρητική παραλληλία.png (19.68 KiB) Προβλήθηκε 162 φορές
Στην προέκταση της BA , θεωρώ τμήμα AS=\dfrac{k(2r-m)}{m-k} και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα SM . Αυτό είναι το M !

( Είναι : SA\cdot SB=SD\cdot SE=SM^2 ) κ.λ.π. Νομίζω ότι κάπως έτσι σκέφτηκε ο θεματοδότης :lol:


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7985
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 09, 2021 7:52 pm

KARKAR έγραψε:
Κυρ Μάιος 09, 2021 7:08 pm
Κρητική παραλληλία.pngΣτην προέκταση της BA , θεωρώ τμήμα AS=\dfrac{k(2r-m)}{m-k} και φέρω το εφαπτόμενο τμήμα SM . Αυτό είναι το M !

( Είναι : SA\cdot SB=SD\cdot SE=SM^2 ) κ.λ.π. Νομίζω ότι κάπως έτσι σκέφτηκε ο θεματοδότης :lol:
Όχι, κάθε άλλο. Η λύση μου ήδη υπάρχει σε ένα σου θέμα :lol: . Είναι στο ίδιο "μήκος κύματος" με την λύση του Νίκου .

Πάντως και οι δύο λύσεις ( του Νίκου κι εσένα ) είναι πολύ ωραίες :clap2: :clap2:

Θα αναμένω τυχόν άλλες λύσεις και μετά θα γράψω .


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2072
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Μάιος 10, 2021 12:26 am

Doloros έγραψε:
Σάβ Μάιος 08, 2021 6:53 pm
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17.png

Δίδεται κύκλος και διάμετρός του \overline {AOB} . Στην ακτίνα OA ( πιο κοντά στο A) θεωρώ σταθερό σημείο D .

Στην ακτίνα OB ( πιο κοντά στο O) θεωρώ σταθερό σημείο E.

Να εντοπιστεί ( με κανόνα και διαβήτη) σημείο M του κύκλου τέτοιο ώστε:

αν οι ημιευθείες MD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ME κόψουν τον κύκλο στα Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H αντίστοιχα , η χορδή ZH να είναι παράλληλη στη διάμετρο AB.
Με AB//ZH \Rightarrow AZ=BH \Rightarrow  \angle  \theta = \angle  \phi κι από θ.Steiner

 \dfrac{AM^2}{MB^2}= \dfrac{AD.AE}{BE.BD} =c  σταθερό

Με το σημείο N χωρίζουμε εσωτερικά τη διάμετροAB σε λόγο c. Η τομή της κάθετης στη διάμετρο στο N με

τον κύκλο,προσδιορίζει τη θέση του M
τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17.png
τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17.png (16.47 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Τσουρακάκης σε Δευ Μάιος 10, 2021 7:50 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7985
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Δευ Μάιος 10, 2021 2:13 am

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε:
Δευ Μάιος 10, 2021 12:26 am
Doloros έγραψε:
Σάβ Μάιος 08, 2021 6:53 pm
Τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17.png

Δίδεται κύκλος και διάμετρός του \overline {AOB} . Στην ακτίνα OA ( πιο κοντά στο A) θεωρώ σταθερό σημείο D .

Στην ακτίνα OB ( πιο κοντά στο O) θεωρώ σταθερό σημείο E.

Να εντοπιστεί ( με κανόνα και διαβήτη) σημείο M του κύκλου τέτοιο ώστε:

αν οι ημιευθείες MD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,ME κόψουν τον κύκλο στα Z\,\,\kappa \alpha \iota \,\,H αντίστοιχα , η χορδή ZH να είναι παράλληλη στη διάμετρο AB.
Με AB//ZH \Rightarrow AZ=BH \Rightarrow  \angle  \theta = \angle  \phi κι από θ.Steiner

 \dfrac{AM^2}{MB^2}= \dfrac{AD.AE}{BE.BD} =c  σταθερό

Με το σημείο N χωρίζουμε εσωτερικά τη διάμετροBC σε λόγο c. Η τομή της κάθετης στη διάμετρο στο N με

τον κύκλο,προσδιορίζει τη θέση του M

Μια ακόμα εντυπωσιακή λύση :clap2:

τα εργαλεία κάνουν το μάστορα 17.png


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης