Εμβαδόν τριγώνου , χωρίς βάση και ύψος

KARKAR · #1

: Εββαδόν τριγώνου χωρίς βάση και ύψος.png (6.05 KiB) Προβλήθηκε 882 φορές

Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου ABC

του παρατιθέμενου σχήματος .

#2

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 07, 2021 6:16 pm
Εββαδόν τριγώνου χωρίς βάση και ύψος.pngΥπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου του παρατιθέμενου σχήματος .

Εύκολα $\displaystyle BD = \frac{a}{3},DC = \frac{{2a}}{3}$ και με $\displaystyle {\rm{Stewart}}$ παίρνω $\boxed{a=21}$

Τέλος επεμβαίνει ο Ήρωνας και δίνει $\boxed{(ABC)=36\sqrt 5}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #3

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 07, 2021 6:16 pm
Εββαδόν τριγώνου χωρίς βάση και ύψος.pngΥπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου του παρατιθέμενου σχήματος .

Από θ.διχοτόμου $BD= \dfrac{a}{3} ,DC= \dfrac{2a}{3}$ .Με $BE \bot AD \Rightarrow DE= \dfrac{a}{3}$ και AE=EC=9

Με θ.διαμέσου στο $\triangle ADC \Rightarrow a=21$ και με Ήρωνα $(ABC)= 36 \sqrt{5}$

: Εμβαδόν χωρίς βάση-ύψος.png (16.99 KiB) Προβλήθηκε 840 φορές

Ιστοσελίδα · #4

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 07, 2021 6:16 pm
Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου του παρατιθέμενου σχήματος .

: 2021-05-07_23-03-39.jpg (28.47 KiB) Προβλήθηκε 823 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #5

Καλήμέρα! Θαυμάσιες οι λύσεις που προηγήθηκαν!
Μια ακόμη τύπου.. Β/Δ . Ε (Από τα ΒορειοΔυτικά της Ελλάδας) : Χωρίς βοηθητικές, άρα με άρωμα Τριγωνομετρίας!

: 8-5 Εμβαδόν τριγώνου.png (98.83 KiB) Προβλήθηκε 806 φορές

Έχουμε $\left ( BAD \right )=36sinx$ αλλά και $\left ( BAD \right )=\left ( BAC \right )/3=27sin2x$ . Προκύπτει $36sinx=27\cdot 2sinxcosx$

άρα $cosx=2/3..sinx=\sqrt{5}/3$ οπότε $\left ( BAD \right )=12\sqrt{5}$ και $\left ( BAC \right )=36\sqrt{5}$ .

Επανέφερα (προσωρινή έστω) ισορροπία: Μ-Γ 2-2

Φιλικά, Γιωργος.

#6

Μια ακόμα άποψη :

${8^2} = 9 \cdot 18 - 2{k^2} \Rightarrow k = 7$ έτσι: $a = 21,\,\,b = 18,\,c = 9$ και μετά με τον τύπο:

$E = \sqrt {s\left( {s - a} \right)\left( {s - b} \right)\left( {s - c} \right)} \,\,,2s = a + b + c = 48$ κ. λ. π.

KARKAR · #7

: Εμβαδόν τριγώνου χωρίς βάση και ύψος.png (5.92 KiB) Προβλήθηκε 772 φορές

Ας προσπαθήσουμε , τώρα , το ίδιο για : AB= c , AC = b , AD = d

. Να βρούμε δηλαδή

ένα τελικό τύπο , ο οποίος να δίνει το εμβαδόν του τριγώνου , συναρτήσει μόνο των b , c , d

.

Η ενασχόληση με το εύλογο ερώτημα : "ποιοι είναι οι περιορισμοί για το

" είναι προαιρετική .

#8

$\boxed{E = \frac{{d(b + c)\sqrt {{b^2}\left( {4{c^2} - {d^2}} \right) - 2bc{d^2} - {c^2}{d^2}} }}{\begin{gathered} 4bc \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} }}$

επαληθεύτηκε

STOPJOHN · #9

KARKAR έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 07, 2021 6:16 pm
Εββαδόν τριγώνου χωρίς βάση και ύψος.pngΥπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου του παρατιθέμενου σχήματος .

Για το πρώτο ερώτημα

Απο το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου $BD=\dfrac{a}{3},DC=\dfrac{2a}{3}\Rightarrow DC=2BD$

συνεπώς προεκτείνω την AB=BL

και το σημείο

είναι το βαρύκεντρο στο τρίγωνο

ALC

,και η $AK \perp LC$ εφόσον $AL=AC=18,\hat{LAK}=\hat{KAC}$

Οπότε $AD=2DK,DK=4,(ABD)=(ADL)=(DLJ)=(DKC)= (LDK)=(LBD)=E_{0},KC=\sqrt{18^{2}-12^{2}}=6\sqrt{5}, (ABC)=(AKC)=3E_{0}=36\sqrt{5}$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #10

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 08, 2021 9:49 am
Εμβαδόν τριγώνου χωρίς βάση και ύψος.pngΑς προσπαθήσουμε , τώρα , το ίδιο για : . Να βρούμε δηλαδή

ένα τελικό τύπο , ο οποίος να δίνει το εμβαδόν του τριγώνου , συναρτήσει μόνο των .

Η ενασχόληση με το εύλογο ερώτημα : "ποιοι είναι οι περιορισμοί για το " είναι προαιρετική .

$DE//AB \Rightarrow \dfrac{DE}{c}= \dfrac{CD}{a}= \dfrac{CD}{CD+DB}= \dfrac{1}{1+ \dfrac{BD}{CD} }= \dfrac{1}{1+ \dfrac{c}{b} } \Rightarrow DE= \dfrac{bc}{b+c} =AE$

κι από Ήρωνα $S= \dfrac{d}{2} \sqrt{( \dfrac{bc}{b+c} )^2-( \dfrac{d}{2} )^2}$

$\dfrac{X}{S}= \dfrac{cdsin \theta }{dAEsin \theta }= \dfrac{c}{ \dfrac{bc}{b+c} } \Rightarrow X= \dfrac{b+c}{b}S$

$\dfrac{X}{Y+S}= \dfrac{BD}{DC}= \dfrac{c}{b} \Rightarrow \dfrac{X}{(ABC)}= \dfrac{c}{b+c} \Rightarrow (ABC)= \dfrac{b+c}{c}X = \dfrac{(b+c)^2}{bc}S$

Τελικά $(ABC)= \dfrac{(b+c)^2}{bc} \dfrac{d}{2}\sqrt{( \dfrac{bc}{b+c} )^2-( \dfrac{d}{2} )^2}$

Για τα δεδομένα του αρχικού προβλήματος,ο τύπος επαληθεύεται

: εμβαδόν-γενίκευση.png (13.59 KiB) Προβλήθηκε 742 φορές

#11

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 08, 2021 9:49 am
Εμβαδόν τριγώνου χωρίς βάση και ύψος.pngΑς προσπαθήσουμε , τώρα , το ίδιο για : . Να βρούμε δηλαδή

ένα τελικό τύπο , ο οποίος να δίνει το εμβαδόν του τριγώνου , συναρτήσει μόνο των .

Η ενασχόληση με το εύλογο ερώτημα : "ποιοι είναι οι περιορισμοί για το " είναι προαιρετική .

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle (ABC) = (ABD) + (ADC) = \frac{1}{2}cd\sin \frac{A}{2} + \frac{1}{2}bd\sin \frac{A}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{(ABC) = \frac{d}{2}(b + c)\sin \frac{A}{2}}$ (1)

$\displaystyle \bullet$ $\displaystyle {d^2} = bc\left( {1 - \frac{{{a^2}}}{{{{(b + c)}^2}}}} \right) \Leftrightarrow$ $\boxed{{a^2} = \frac{{{{(b + c)}^2}(bc - {d^2})}}{{bc}}}$ (2)

$\displaystyle \bullet$ Νόμος συνημιτόνου, $\displaystyle {a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A = {b^2} + {c^2} - 2bc\left( {1 - 2{{\sin }^2}\frac{A}{2}} \right)\mathop \Leftrightarrow \limits^{(2)} \sin \frac{A}{2} = \frac{{\sqrt {4{b^2}{c^2} - {{(bd + cd)}^2}} }}{{2bc}}$

και αντικαθιστώντας στην (1),

$\boxed{(ABC) = \frac{d}{{4bc}}(b + c)\sqrt {4{b^2}{c^2} - {{(bd + cd)}^2}} }$

KARKAR · #12

Γιώργο , αυτός είναι και ο τύπος που προτείνει ο Νικ. Α. Κισκύρας στην περίφημη Γεωμετρία του

στο βιβλίο Τέταρτο -Πέμπτο , εφαρμογή 329 , σελίδα 147 , έκδοση 1973 ( με παρόμοια απόδειξη ).

#13

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 08, 2021 6:28 pm
Γιώργο , αυτός είναι και ο τύπος που προτείνει ο Νικ. Α. Κισκύρας στην περίφημη Γεωμετρία του

στο βιβλίο Τέταρτο -Πέμπτο , εφαρμογή 329 , σελίδα 147 , έκδοση 1973 ( με παρόμοια απόδειξη ).

Είναι τιμή μου που πέτυχα τον τύπο του Κισκύρα.

Εμβαδόν τριγώνου , χωρίς βάση και ύψος

Εμβαδόν τριγώνου , χωρίς βάση και ύψος

Re: Εμβαδόν τριγώνου , χωρίς βάση και ύψος

Re: Εμβαδόν τριγώνου , χωρίς βάση και ύψος

Re: Εμβαδόν τριγώνου , χωρίς βάση και ύψος

Re: Εμβαδόν τριγώνου , χωρίς βάση και ύψος

Re: Εμβαδόν τριγώνου , χωρίς βάση και ύψος

Re: Εμβαδόν τριγώνου , χωρίς βάση και ύψος

Re: Εμβαδόν τριγώνου , χωρίς βάση και ύψος

Re: Εμβαδόν τριγώνου , χωρίς βάση και ύψος

Re: Εμβαδόν τριγώνου , χωρίς βάση και ύψος

Re: Εμβαδόν τριγώνου , χωρίς βάση και ύψος

Re: Εμβαδόν τριγώνου , χωρίς βάση και ύψος

Re: Εμβαδόν τριγώνου , χωρίς βάση και ύψος

Μέλη σε σύνδεση