Η εφαπτομένη

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7927
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Η εφαπτομένη

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Μάιος 04, 2021 1:43 pm

Η εφαπτομένη  του Γιώργου.png
Η εφαπτομένη του Γιώργου.png (13.92 KiB) Προβλήθηκε 196 φορές
Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο , ABC θεωρώ το σημείο S της υποτείνουσας BC για το οποίο SC = 2SB.

Στην πλευρά AC επιλέγω σημείο T , ώστε AT = AS. Να υπολογιστεί η εφαπτομένη της γωνίας \widehat {ATS}\,\,\left( { = \theta } \right).

Η άσκηση αφιερώνεται στον ευγενέστατο και εξαίρετο μαθηματικό :

Γιώργο Μήτσιο.



Λέξεις Κλειδιά:
Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2062
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Η εφαπτομένη

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Τρί Μάιος 04, 2021 5:26 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Μάιος 04, 2021 1:43 pm
Η εφαπτομένη του Γιώργου.png

Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο , ABC θεωρώ το σημείο S της υποτείνουσας BC για το οποίο SC = 2SB.

Στην πλευρά AC επιλέγω σημείο T , ώστε AT = AS. Να υπολογιστεί η εφαπτομένη της γωνίας \widehat {ATS}\,\,\left( { = \theta } \right).

Η άσκηση αφιερώνεται στον ευγενέστατο και εξαίρετο μαθηματικό :

Γιώργο Μήτσιο.
Χρόνια πολλά..

Έστω tan \theta =x.Με τους συμβολισμούς του σχήματος έχουμε SM= \dfrac{1}{3}BM=  \dfrac{1}{3}AM \Rightarrow tan \omega = \dfrac{SM}{AM}= \dfrac{1}{3}

Επειδή \varphi + \omega =45^0 \Rightarrow tan \phi = \dfrac{1-tan \omega }{1+tan \omega }= \dfrac{1}{2}  και tanSAT=cot \phi =2

Στο τρίγωνο SAT ισχύει tanSAT+2tan \theta =tanSAT . tan^2 \theta  \Rightarrow 2+2x=2x^2 \Rightarrow x^2-x-1=0

άρα x=tan \theta = \dfrac{1+ \sqrt{5} }{2}= \Phi

(Αναμενόμενο αποτέλεσμα...)
Η εφαπτομένη.png
Η εφαπτομένη.png (10 KiB) Προβλήθηκε 168 φορές


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10470
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Η εφαπτομένη

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Τρί Μάιος 04, 2021 6:17 pm

Doloros έγραψε:
Τρί Μάιος 04, 2021 1:43 pm
Η εφαπτομένη του Γιώργου.png

Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο , ABC θεωρώ το σημείο S της υποτείνουσας BC για το οποίο SC = 2SB.

Στην πλευρά AC επιλέγω σημείο T , ώστε AT = AS. Να υπολογιστεί η εφαπτομένη της γωνίας \widehat {ATS}\,\,\left( { = \theta } \right).

Η άσκηση αφιερώνεται στον ευγενέστατο και εξαίρετο μαθηματικό :

Γιώργο Μήτσιο.
Αν BS=2x τότε SC=2x και AB=3x\sqrt 2. Επειδή το ABC είναι ισοσκελές θα είναι:
Η εφαπτομένη.ΓΜ.png
Η εφαπτομένη.ΓΜ.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές
\displaystyle A{B^2} = A{S^2} + BS \cdot SC \Leftrightarrow AS = x\sqrt {10} και με νόμο ημιτόνων στο ASC,

\displaystyle \frac{{x\sqrt {10} }}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{4x}}{{\sin \omega }} \Leftrightarrow \sin \omega  = \frac{2}{{\sqrt 5 }} και \boxed{\tan \omega  = 2} απ' όπου \displaystyle \tan 2\theta  = \tan (180^\circ  - \omega ) =    - 2 και

\displaystyle \frac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} =  - 2 \Leftrightarrow {\tan ^2}\theta  - \tan \theta  - 1 = 0 \Leftrightarrow \boxed{\tan \theta  = \Phi }


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1430
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Η εφαπτομένη

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Μάιος 07, 2021 12:36 pm

Χαιρετώ τους \Phi ίλους.
Παρόμοια προσέγγιση. Φέρω στο ισοσκελές SAT το ύψος-διάμεσο AM.
7-5 tanθ=Φ.png
7-5 tanθ=Φ.png (115.43 KiB) Προβλήθηκε 92 φορές
Αν AB=AC=3 τότε BS= \sqrt{2}, SC=2\sqrt{2}. Με το Ν.Συνημιτόνων στο τρίγωνο BAS παίρνουμε

AS^2=AB^2 +BS^2-2AB\cdot BScosB=..=\sqrt{5}=AT οπότε CT=3-\sqrt{5}.

Ομοίως με τον Ν.Σ στο STC προκύπτει ST^2=..=10-2\sqrt{5} \Rightarrow MT^2=\dfrac{ST^2}{4}=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}. Με το Πυθαγόρειο στο ορθ. τρίγωνο

MAT παίρνουμε AM^2=\dfrac{5+\sqrt{5}}{2} συνεπώς tan^2\theta =\dfrac{AM^{2}}{MT^{2}}=..=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}=\Phi ^2 άρα  tan\theta = \Phi .

Ας μου επιτραπεί και το σχόλιο: Είναι φανερό ότι μερικοί συμβολίζουμε τον χρυσό αριθμό με κεφαλαίο \Phi .

Ένα ακόμη ... :) ... επιχείρημα για την προτίμησή μας αυτή. Με κεφαλαίο \Phi γράφεται ασφαλώς και το επίθετο εξέχοντος Μαθηματικού, ακάματου εργάτη της Γεωμετρίας(κι' όχι μόνο) που πρόσφερε πολλά και με την ευχή να συνεχίσει να προσφέρει για "ουκ ολίγες" δεκαετίες ακόμη..

Το όνομα αυτού Νίκος Φραγκάκης!
\Phi ιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Μήτσιος
Δημοσιεύσεις: 1430
Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
Τοποθεσία: Aρτα

Re: Η εφαπτομένη

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Μήτσιος » Παρ Μάιος 07, 2021 11:24 pm

Χαιρετώ και πάλι! Επανέρχομαι μετά την επισήμανση που μου έκανε ο Νίκος
ότι το τρίγωνο SAT είναι (όμοιο με) το τρίγωνο του δικού μου λογότυπου (πάνω απ' το όνομά μου)!

Υποθέτω λοιπόν βάσιμα πως η λύση που ακολουθεί είναι αυτή που είχε κατά νου ο Νίκος κατά την δημιουργία του θέματος
7-5 tanθ=tanω=Φ.png
7-5 tanθ=tanω=Φ.png (115.68 KiB) Προβλήθηκε 51 φορές
Το AHSE είναι ορθογώνιο. Αφού SC=2BS με BE=1 είναι AE=2BE=2 ενώ AH=SE=BE=1.

Γίνεται φανερό ότι το ισοσκελές SAT "βρίσκεται ..από καιρό" πάνω από τ' ονομά μου, επομένως tan \theta=tan \omega= \Phi

Φιλικά, Γιώργος.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 7927
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Η εφαπτομένη

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Παρ Μάιος 07, 2021 11:39 pm

Γιώργος Μήτσιος έγραψε:
Παρ Μάιος 07, 2021 11:24 pm
Χαιρετώ και πάλι! Επανέρχομαι μετά την επισήμανση που μου έκανε ο Νίκος
ότι το τρίγωνο SAT είναι (όμοιο με) το τρίγωνο του δικού μου λογότυπου (πάνω απ' το όνομά μου)!

Υποθέτω λοιπόν βάσιμα πως η λύση που ακολουθεί είναι αυτή που είχε κατά νου ο Νίκος κατά την δημιουργία του θέματος
7-5 tanθ=tanω=Φ.png
Το AHSE είναι ορθογώνιο. Αφού SC=2BS με BE=1 είναι AE=2BE=2 ενώ AH=SE=BE=1.

Γίνεται φανερό ότι το ισοσκελές SAT "βρίσκεται ..από καιρό" πάνω από τ' ονομά μου, επομένως tan \theta=tan \omega= \Phi

Φιλικά, Γιώργος.
Ακριβώς !

Κάθε φορά που λύνω άσκηση και υποψιάζομαι ότι έχει χρυσή τομή έχω κατά νου την κλασσική κατασκευή και το πιο πάνω λογότυπο.

Να είσαι πάντα καλά !


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες