Η εφαπτομένη

#1

: Η εφαπτομένη του Γιώργου.png (13.92 KiB) Προβλήθηκε 386 φορές

Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο , ABC

θεωρώ το σημείο

της υποτείνουσας

για το οποίο SC = 2SB

.

Στην πλευρά

επιλέγω σημείο

, ώστε

. Να υπολογιστεί η εφαπτομένη της γωνίας $\widehat {ATS}\,\,\left( { = \theta } \right)$ .

Η άσκηση αφιερώνεται στον ευγενέστατο και εξαίρετο μαθηματικό :

Γιώργο Μήτσιο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #2

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 04, 2021 1:43 pm
Η εφαπτομένη του Γιώργου.png

Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο , θεωρώ το σημείο της υποτείνουσας για το οποίο .

Στην πλευρά επιλέγω σημείο , ώστε . Να υπολογιστεί η εφαπτομένη της γωνίας $\widehat {ATS}\,\,\left( { = \theta } \right)$ .

Η άσκηση αφιερώνεται στον ευγενέστατο και εξαίρετο μαθηματικό :

Γιώργο Μήτσιο.

Χρόνια πολλά..

Έστω $tan \theta =x$ .Με τους συμβολισμούς του σχήματος έχουμε $SM= \dfrac{1}{3}BM= \dfrac{1}{3}AM \Rightarrow tan \omega = \dfrac{SM}{AM}= \dfrac{1}{3}$

Επειδή $\varphi + \omega =45^0 \Rightarrow tan \phi = \dfrac{1-tan \omega }{1+tan \omega }= \dfrac{1}{2}$ και $tanSAT=cot \phi =2$

Στο τρίγωνο SAT

ισχύει $tanSAT+2tan \theta =tanSAT . tan^2 \theta \Rightarrow 2+2x=2x^2 \Rightarrow x^2-x-1=0$

άρα $x=tan \theta = \dfrac{1+ \sqrt{5} }{2}= \Phi$

(Αναμενόμενο αποτέλεσμα...)

: Η εφαπτομένη.png (10 KiB) Προβλήθηκε 358 φορές

#3

Doloros έγραψε: ↑
Τρί Μάιος 04, 2021 1:43 pm
Η εφαπτομένη του Γιώργου.png

Στο ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο , θεωρώ το σημείο της υποτείνουσας για το οποίο .

Στην πλευρά επιλέγω σημείο , ώστε . Να υπολογιστεί η εφαπτομένη της γωνίας $\widehat {ATS}\,\,\left( { = \theta } \right)$ .

Η άσκηση αφιερώνεται στον ευγενέστατο και εξαίρετο μαθηματικό :

Γιώργο Μήτσιο.

Αν

τότε

και $AB=3x\sqrt 2.$ Επειδή το ABC

είναι ισοσκελές θα είναι:

: Η εφαπτομένη.ΓΜ.png (10.83 KiB) Προβλήθηκε 340 φορές

$\displaystyle A{B^2} = A{S^2} + BS \cdot SC \Leftrightarrow AS = x\sqrt {10}$ και με νόμο ημιτόνων στο ASC,

$\displaystyle \frac{{x\sqrt {10} }}{{\sin 45^\circ }} = \frac{{4x}}{{\sin \omega }} \Leftrightarrow \sin \omega = \frac{2}{{\sqrt 5 }}$ και $\boxed{\tan \omega = 2}$ απ' όπου $\displaystyle \tan 2\theta = \tan (180^\circ - \omega ) = - 2$ και

$\displaystyle \frac{{2\tan \theta }}{{1 - {{\tan }^2}\theta }} = - 2 \Leftrightarrow {\tan ^2}\theta - \tan \theta - 1 = 0 \Leftrightarrow$ $\boxed{\tan \theta = \Phi }$

Γιώργος Μήτσιος · #4

Χαιρετώ τους $\Phi$ ίλους.
Παρόμοια προσέγγιση. Φέρω στο ισοσκελές SAT

το ύψος-διάμεσο

.

: 7-5 tanθ=Φ.png (115.43 KiB) Προβλήθηκε 282 φορές

Αν

τότε $BS= \sqrt{2}, SC=2\sqrt{2}$ . Με το Ν.Συνημιτόνων στο τρίγωνο BAS

παίρνουμε

$AS^2=AB^2 +BS^2-2AB\cdot BScosB=..=\sqrt{5}=AT$ οπότε $CT=3-\sqrt{5}$ .

Ομοίως με τον Ν.Σ στο STC

προκύπτει $ST^2=..=10-2\sqrt{5} \Rightarrow MT^2=\dfrac{ST^2}{4}=\dfrac{5-\sqrt{5}}{2}$ . Με το Πυθαγόρειο στο ορθ. τρίγωνο

MAT

παίρνουμε $AM^2=\dfrac{5+\sqrt{5}}{2}$ συνεπώς $tan^2\theta =\dfrac{AM^{2}}{MT^{2}}=..=\dfrac{3+\sqrt{5}}{2}=\Phi ^2$ άρα $tan\theta = \Phi$ .

Ας μου επιτραπεί και το σχόλιο: Είναι φανερό ότι μερικοί συμβολίζουμε τον χρυσό αριθμό με κεφαλαίο $\Phi$ .

Ένα ακόμη ...

... επιχείρημα για την προτίμησή μας αυτή. Με κεφαλαίο $\Phi$ γράφεται ασφαλώς και το επίθετο εξέχοντος Μαθηματικού, ακάματου εργάτη της Γεωμετρίας(κι' όχι μόνο) που πρόσφερε πολλά και με την ευχή να συνεχίσει να προσφέρει για "ουκ ολίγες" δεκαετίες ακόμη..

Το όνομα αυτού Νίκος Φραγκάκης!
$\Phi$ ιλικά, Γιώργος.

Γιώργος Μήτσιος · #5

Χαιρετώ και πάλι! Επανέρχομαι μετά την επισήμανση που μου έκανε ο Νίκος
ότι το τρίγωνο SAT

είναι (όμοιο με) το τρίγωνο του δικού μου λογότυπου (πάνω απ' το όνομά μου)!

Υποθέτω λοιπόν βάσιμα πως η λύση που ακολουθεί είναι αυτή που είχε κατά νου ο Νίκος κατά την δημιουργία του θέματος

: 7-5 tanθ=tanω=Φ.png (115.68 KiB) Προβλήθηκε 241 φορές

Το

είναι ορθογώνιο. Αφού SC=2BS

με

είναι

ενώ

.

Γίνεται φανερό ότι το ισοσκελές "βρίσκεται ..από καιρό" πάνω από τ' ονομά μου, επομένως $tan \theta=tan \omega= \Phi$

Φιλικά, Γιώργος.

#6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Παρ Μάιος 07, 2021 11:24 pm
Χαιρετώ και πάλι! Επανέρχομαι μετά την επισήμανση που μου έκανε ο Νίκος
ότι το τρίγωνο είναι (όμοιο με) το τρίγωνο του δικού μου λογότυπου (πάνω απ' το όνομά μου)!

Υποθέτω λοιπόν βάσιμα πως η λύση που ακολουθεί είναι αυτή που είχε κατά νου ο Νίκος κατά την δημιουργία του θέματος
7-5 tanθ=tanω=Φ.png
Το είναι ορθογώνιο. Αφού με είναι ενώ .

Γίνεται φανερό ότι το ισοσκελές "βρίσκεται ..από καιρό" πάνω από τ' ονομά μου, επομένως $tan \theta=tan \omega= \Phi$

Φιλικά, Γιώργος.

Ακριβώς !

Κάθε φορά που λύνω άσκηση και υποψιάζομαι ότι έχει χρυσή τομή έχω κατά νου την κλασσική κατασκευή και το πιο πάνω λογότυπο.

Να είσαι πάντα καλά !

Η εφαπτομένη

Η εφαπτομένη

Re: Η εφαπτομένη

Re: Η εφαπτομένη

Re: Η εφαπτομένη

Re: Η εφαπτομένη

Re: Η εφαπτομένη

Μέλη σε σύνδεση