Ισακτινική

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ισακτινική

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Πέμ Απρ 29, 2021 8:01 am

Ισακτινική.png
Ισακτινική.png (11.93 KiB) Προβλήθηκε 234 φορές
Με τα σημεία N, L τριχοτομούμε μια χορδή AB , κύκλου (O,r) . Η ON

τέμνει τον κύκλο στο S . Πως θα επιλέξουμε την χορδή , ώστε LS=r ;



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισακτινική

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Απρ 29, 2021 9:37 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 29, 2021 8:01 am
Ισακτινική.pngΜε τα σημεία N, L τριχοτομούμε μια χορδή AB , κύκλου (O,r) . Η ON

τέμνει τον κύκλο στο S . Πως θα επιλέξουμε την χορδή , ώστε LS=r ;
τριακτινική_κατασευή.png
τριακτινική_κατασευή.png (16.98 KiB) Προβλήθηκε 214 φορές
Η κατασκευή όπως φαίνεται στο σχήμα είναι απλούστατη

«Ο αυτόματος πιλότος» δίνει : \boxed{AB = \frac{3}{2}\sqrt {\frac{3}{2}} r = \frac{{3\sqrt 6 }}{4}r}

Edit :

Άρση απόκρυψης
τελευταία επεξεργασία από Doloros σε Σάβ Μάιος 01, 2021 11:09 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ισακτινική

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Πέμ Απρ 29, 2021 10:29 am

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 29, 2021 8:01 am
Ισακτινική.pngΜε τα σημεία N, L τριχοτομούμε μια χορδή AB , κύκλου (O,r) . Η ON

τέμνει τον κύκλο στο S . Πως θα επιλέξουμε την χορδή , ώστε LS=r ;
Εύκολα τα τρίγωνα NOA, NLS είναι ίσα, οπότε \displaystyle ON = NS = \frac{r}{2}.
Ισακτινική.png
Ισακτινική.png (12.63 KiB) Προβλήθηκε 204 φορές
\displaystyle r^2- \frac{{r^2}}{4} = AN \cdot NB = \frac{{AB}}{3} \cdot \frac{{2AB}}{3} \Leftrightarrow 8A{B^2} = 27{r^2} \Leftrightarrow \boxed{AB = \frac{{3r\sqrt 6 }}{4}}


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Ισακτινική

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Πέμ Απρ 29, 2021 11:51 am

Είναι \displaystyle SM = {SO \over 4} και γράφω την υπερβολή με εστίες S, O που διέρχεται εκ του M.
(Προς το παρόν δεν έχω απόδειξη)
Συνημμένα
rsz_hyperbola37.png
rsz_hyperbola37.png (70.01 KiB) Προβλήθηκε 190 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Ισακτινική

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Σάβ Μάιος 01, 2021 10:01 am

Επειδή S, O εστίες της υπερβολής, N το κέντρο της, AL διάμετρος (AN=NL),
είναι AS \parallel = OL άρα ASLO παραλληλόγραμμο και SL=AO=SO. Επειδή τώρα

\displaystyle{ 
AO-SA=OM-SM={R \over 2} \rightarrow AO-SA ={R \over 2} \rightarrow SA ={R \over 2} 
}

τα τρίγωνα SAN, ONC θα είναι και ισοσκελή (όλες οι πράσινες γωνίες ίσες και AS=SN=NO=OL),
άρα ο κύκλος O,ON θα διέρχεται και από το L οπότε AN=LB=NL. Τότε βρίσκω

\displaystyle{ 
AN \cdot NL = {R \over 2}{3R \over 4} \rightarrow AN = R\sqrt{{3 \over 8}} \rightarrow AB = 3R\sqrt{{3 \over 8}} = R \left( {3 \over 2} \right)^{{3 \over 2}} 
}
Συνημμένα
rsz_isaktiniki.png
rsz_isaktiniki.png (105.38 KiB) Προβλήθηκε 146 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8032
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ισακτινική

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Κυρ Μάιος 02, 2021 9:08 pm

KARKAR έγραψε:
Πέμ Απρ 29, 2021 8:01 am
Ισακτινική.pngΜε τα σημεία N, L τριχοτομούμε μια χορδή AB , κύκλου (O,r) . Η ON

τέμνει τον κύκλο στο S . Πως θα επιλέξουμε την χορδή , ώστε LS=r ;
Το ζητούμενο είναι ο προσδιορισμός της χορδής AB και όχι κατ’ ανάγκη ο υπολογισμός της .

Κατασκευή.

Σε κύκλο \left( {O,r} \right) θεωρώ τυχαία διάμετρο \overline {EOZ} και το μέσο L του OZ. Γράφω νέο κύκλο \left( {L,r} \right) και έστω S το ,ένα, σημείο τομής του με τον \left( {O,r} \right).

Φέρνω την ακτίνα OA//LS. Η AL τέμνει ακόμα τον κύκλο στο B.

Απόδειξη
ισακτινική κατασκευή.png
ισακτινική κατασκευή.png (23.67 KiB) Προβλήθηκε 109 φορές
Το τετράπλευρο AOLS είναι παραλληλόγραμμο , οι διαγώνιοι διχοτομούνται και άρα στο τρίγωνο OSZ θα είναι NL// = \dfrac{{ZS}}{2}.

Αναγκαστικά και το \vartriangle ONL ισοσκελές .

Έτσι: OL = ON = NS = \dfrac{r}{2} και αφού το τετράπλευρο ABZS είναι ισοσκελές

τραπέζιο θα έχω: \boxed{BZ = AS = ON = OL = LZ = \frac{r}{2}} προφανές τώρα ότι τα N\,\,\kappa \alpha \iota \,\,L τριχοτομούν την AB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,LS = r


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης