Ένα σταθερό κι ένα μέγιστο

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12742
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ένα σταθερό κι ένα μέγιστο

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τετ Απρ 28, 2021 7:35 pm

Ένα  σταθερό κι ένα μέγιστο.png
Ένα σταθερό κι ένα μέγιστο.png (9.62 KiB) Προβλήθηκε 191 φορές
Το τρίγωνο ABC είναι ορθογώνιο και ισοσκελές , με υποτείνουσα BC=a , η οποία έχει μέσο το σημείο M .

Τα σημεία A' , B' , είναι η προβολές των κορυφών A , B , πάνω σε μεταβλητή ευθεία διερχόμενη από το M .

α) Δείξτε ότι το άθροισμα : AA'^2+BB'^2 , μένει σταθερό . ... β) Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος BA' .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4920
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Ένα σταθερό, ένα μέγιστο και μισό φ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Τετ Απρ 28, 2021 8:15 pm

Kαλησπέρα σε όλους.
28-04-2021 Γεωμετρία.png
28-04-2021 Γεωμετρία.png (39.04 KiB) Προβλήθηκε 158 φορές

α)Φέρνουμε την AM. Το A’ κινείται σε κύκλο διαμέτρου AM, αφού  \displaystyle \widehat {{\rm A}'} = 90^\circ , ο οποίος εφάπτεται στη BC, αφού η διάμεσος AM είναι και ύψος, εφόσον το ABC είναι ισοσκελές.

Τα τρίγωνα BB’M, AA’M είναι ίσα, αφού BM = AM και  \displaystyle \widehat {{\rm A}'{\rm A}{\rm M}} = \widehat {{\rm A}'{\rm M}C} = \widehat {BMB'} (υπό χoρδής κι εφαπτομένης και κατακορυφήν διαδοχικά),

άρα AA’=B’M, οπότε A{A'^2} + B{B'^2} = B'{M^2} + B{B'^2} = B{M^2} = \frac{{{a^2}}}{4}, σταθερό.


β) Αφού ABC ισοσκελές με BC=a, είναι  \displaystyle {\rm A}{\rm M} = \frac{\alpha }{2} ,  \displaystyle BK = \sqrt {B{M^2} + K{M^2}}  = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{{16}}}  = \frac{{a\sqrt 5 }}{4} και  \displaystyle KA' = \frac{a}{4} .

Το μέγιστο τμήμα BA’ ισούται με  \displaystyle {\rm B}{\rm K} + {\rm K}{\rm A}' = \frac{{\alpha \left( {\sqrt 5  + 1} \right)}}{4} , δηλαδή μισό  \phi.

edit 23:00 Συμπλήρωσα την ημιτελή απάντησή μου και την μετέτρεψα σε αμιγώς γεωμετρική.


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8097
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Ένα σταθερό κι ένα μέγιστο

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Πέμ Απρ 29, 2021 12:55 am

Θέτω : AM = a ( σταθερό) , BB' = x\,\,,AA' = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BA' = y.

α) Τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις υποτείνουσες ίσες και τις εις το M οξείες γωνίες συμπληρωματικές , άρα \widehat {MAA'} = \widehat {BMB'} ,

οπότε είναι ίσα με άμεση συνέπεια : MA' = x

{\left( {AA'} \right)^2} + {\left( {BB'} \right)^2} = {k^2} + {x^2} = {\left( {AA'} \right)^2} + {\left( {MA'} \right)^2} = M{A^2} = {a^2} \Rightarrow \boxed{{k^2} = {a^2} - {x^2}}\,\,\left( 1 \right)

β) Επειδή το B είναι σταθερό και το A' διαγράφει τον κύκλο διαμέτρου AM
Ένα σταθερό κι ένα μεγιστο_1.png
Ένα σταθερό κι ένα μεγιστο_1.png (21.86 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές

Το BA' γίνεται μέγιστο όταν η ευθεία BA' διέλθει από το μέσο N του AM .

Τότε και με F το αντιδιαμετρικό του A' θα έχω: B{M^2} = BF \cdot BA' \Rightarrow {a^2} = \left( {y - a} \right)y \Rightarrow \boxed{{y_{\max }} = a\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}.


Βλέπω ο αγαπητός Γιώργος έχει επί της ουσίας δώσει την ίδια λύση . Την αφήνω για τον κόπο . Καλή Ανάσταση και "λευτεριά" σε όλους μας


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης