Ένα σταθερό κι ένα μέγιστο

KARKAR · #1

: Ένα σταθερό κι ένα μέγιστο.png (9.62 KiB) Προβλήθηκε 472 φορές

Το τρίγωνο ABC

είναι ορθογώνιο και ισοσκελές , με υποτείνουσα BC=a

, η οποία έχει μέσο το σημείο

.

Τα σημεία A' , B'

, είναι η προβολές των κορυφών A , B

, πάνω σε μεταβλητή ευθεία διερχόμενη από το

.

α) Δείξτε ότι το άθροισμα : AA'^2+BB'^2

, μένει σταθερό . ... β) Υπολογίστε το μέγιστο του τμήματος BA'

.

#2

Kαλησπέρα σε όλους.

: 28-04-2021 Γεωμετρία.png (39.04 KiB) Προβλήθηκε 439 φορές

α)Φέρνουμε την

. Το

κινείται σε κύκλο διαμέτρου

, αφού $\displaystyle \widehat {{\rm A}'} = 90^\circ$ , ο οποίος εφάπτεται στη

, αφού η διάμεσος

είναι και ύψος, εφόσον το ABC

είναι ισοσκελές.

Τα τρίγωνα BB’M, AA’M

είναι ίσα, αφού BM = AM

και $\displaystyle \widehat {{\rm A}'{\rm A}{\rm M}} = \widehat {{\rm A}'{\rm M}C} = \widehat {BMB'}$ (υπό χoρδής κι εφαπτομένης και κατακορυφήν διαδοχικά),

άρα AA’=B’M

, οπότε $A{A'^2} + B{B'^2} = B'{M^2} + B{B'^2} = B{M^2} = \frac{{{a^2}}}{4}$ , σταθερό.

β) Αφού ABC

ισοσκελές με BC=a

, είναι $\displaystyle {\rm A}{\rm M} = \frac{\alpha }{2}$ , $\displaystyle BK = \sqrt {B{M^2} + K{M^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{{16}}} = \frac{{a\sqrt 5 }}{4}$ και $\displaystyle KA' = \frac{a}{4}$ .

Το μέγιστο τμήμα BA’

ισούται με $\displaystyle {\rm B}{\rm K} + {\rm K}{\rm A}' = \frac{{\alpha \left( {\sqrt 5 + 1} \right)}}{4}$ , δηλαδή μισό $\phi$ .

edit 23:00 Συμπλήρωσα την ημιτελή απάντησή μου και την μετέτρεψα σε αμιγώς γεωμετρική.

#3

Θέτω :

( σταθερό) , $BB' = x\,\,,AA' = k\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BA' = y$ .

α) Τα ορθογώνια τρίγωνα έχουν τις υποτείνουσες ίσες και τις εις το

οξείες γωνίες συμπληρωματικές , άρα $\widehat {MAA'} = \widehat {BMB'}$ ,

οπότε είναι ίσα με άμεση συνέπεια : MA' = x

${\left( {AA'} \right)^2} + {\left( {BB'} \right)^2} = {k^2} + {x^2} = {\left( {AA'} \right)^2} + {\left( {MA'} \right)^2} = M{A^2} = {a^2} \Rightarrow \boxed{{k^2} = {a^2} - {x^2}}\,\,\left( 1 \right)$

β) Επειδή το

είναι σταθερό και το

διαγράφει τον κύκλο διαμέτρου

: Ένα σταθερό κι ένα μεγιστο_1.png (21.86 KiB) Προβλήθηκε 431 φορές

Το

γίνεται μέγιστο όταν η ευθεία BA'

διέλθει από το μέσο

του

.

Τότε και με

το αντιδιαμετρικό του

θα έχω: $B{M^2} = BF \cdot BA' \Rightarrow {a^2} = \left( {y - a} \right)y \Rightarrow \boxed{{y_{\max }} = a\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}}$ .

Βλέπω ο αγαπητός Γιώργος έχει επί της ουσίας δώσει την ίδια λύση . Την αφήνω για τον κόπο . Καλή Ανάσταση και "λευτεριά" σε όλους μας

Ένα σταθερό κι ένα μέγιστο

Ένα σταθερό κι ένα μέγιστο

Re: Ένα σταθερό, ένα μέγιστο και μισό φ

Re: Ένα σταθερό κι ένα μέγιστο

Μέλη σε σύνδεση