Συμμετρία και συνευθειακότητα
Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis
Συμμετρία και συνευθειακότητα
ως προς τα . Είναι γνωστό ότι τα είναι συνευθειακά , αν οι , είναι διάμεσοι .
Βρείτε κατάλληλες συνθήκες , ώστε να συμβαίνει το ίδιο αν τα είναι : α) ύψη ... β) διχοτόμοι .
Λέξεις Κλειδιά:
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Συμμετρία και συνευθειακότητα
Επαναφορά ... για τις διχοτόμους, καθώς για τα ύψη είναι προφανές (από ίσα ορθογώνια τρίγωνα και , οπότε η ζητούμενη συνευθειακότητα είναι ισοδύναμη προς την ).
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- Al.Koutsouridis
- Δημοσιεύσεις: 1784
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 30, 2014 11:58 pm
- Τοποθεσία: Αθήνα
Re: Συμμετρία και συνευθειακότητα
Εικασία μου είναι ότι η κορυφή θα πρέπει να κινείται σε έλλειψη με κέντρο το μέσο της πλευράς , μεγάλο άξονα στο φορέα αυτού του τμήματος και μήκους , μικρό άξονα μήκους . Δεν δοκίμασα με συντεταγμένες, γεωμετρικά δεν κατέληξα κάπου προς το παρόν.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Συμμετρία και συνευθειακότητα
Παρουσιάζω εδώ λύση του Νίκου Ιωσηφίδη:
Έστω οι πλευρές του τριγώνου .
Για τυχαία διανυσματική αρχή ισχύει (βλ. Νίκου Ιωσηφίδη (2008), "Εφαρμογές του Διανυσματικού Λογισμού στην Γεωμετρία" (εδώ, ή και εδώ, σελ. 13))
και
Αν ως αρχή πάρουμε το σημείο , οι προηγούμενες σχέσεις γίνονται
και
Επειδή το είναι μέσο του ισχύει: ( 1 )
Για τον ίδιο λόγο είναι: ( 2 )
Για να είναι τα σημεία συνευθειακά πρέπει και αρκεί να υπάρχει :
και, ισοδύναμα λόγω (1) & (2),
.
Eπειδή τα διανύσματα και είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, πρέπει και αρκεί να ισχύουν οι
Με αντικατάσταση του από την 1η στην 2η σχέση προκύπτει (a+b)(a+c)=4bc ( 3 )
Η (3) είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε τα σημεία να είναι συνευθειακά.
Στο σημείο αυτό ο Νίκος Ιωσηφίδης συνεχίζει με
Εύρεση τριγώνων με ακέραιες πλευρές που έχουν την ιδιότητα να είναι συνευθειακά τα σημεία .
Θα βρούμε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης (3). Αρκεί να βρούμε τις ρητές λύσεις της.
Αν είναι μια ρητή λύση της (3) τότε η τριάδα θα είναι ακέραια λύση της (3). Θεωρούμε ότι οι λύσεις της μορφής , που δίνουν όμοια τρίγωνα είναι ταυτόσημες.
Για να είναι οι ρητοί λύσεις της (3) πρέπει και αρκεί να υπάρχει θετικός ρητός ώστε , οπότε . Από τις σχέσεις αυτές βρίσκουμε
( 4 )
( 5 )
Για να είναι τα μήκη πλευρών τριγώνου πρέπει και αρκεί να ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις (βλ. "Η τριγωνική ανισότητα")
• που ισχύει για κάθε
• ( 6 )
• ( 7 )
Οι (4), (5), (6) και (7) συναληθεύουν όταν .
Για κάθε ρητό και τυχαίο ρητό , έχουμε τη ρητή λύση .
Π.χ για και τυχαίο ρητό , έχουμε τη ρητή λύση .
Για έχουμε την ακέραια λύση .
[Λύση-Διερεύνηση Νίκου Ιωσηφίδη]
Έστω οι πλευρές του τριγώνου .
Για τυχαία διανυσματική αρχή ισχύει (βλ. Νίκου Ιωσηφίδη (2008), "Εφαρμογές του Διανυσματικού Λογισμού στην Γεωμετρία" (εδώ, ή και εδώ, σελ. 13))
και
Αν ως αρχή πάρουμε το σημείο , οι προηγούμενες σχέσεις γίνονται
και
Επειδή το είναι μέσο του ισχύει: ( 1 )
Για τον ίδιο λόγο είναι: ( 2 )
Για να είναι τα σημεία συνευθειακά πρέπει και αρκεί να υπάρχει :
και, ισοδύναμα λόγω (1) & (2),
.
Eπειδή τα διανύσματα και είναι γραμμικώς ανεξάρτητα, πρέπει και αρκεί να ισχύουν οι
Με αντικατάσταση του από την 1η στην 2η σχέση προκύπτει (a+b)(a+c)=4bc ( 3 )
Η (3) είναι η αναγκαία και ικανή συνθήκη ώστε τα σημεία να είναι συνευθειακά.
Στο σημείο αυτό ο Νίκος Ιωσηφίδης συνεχίζει με
Εύρεση τριγώνων με ακέραιες πλευρές που έχουν την ιδιότητα να είναι συνευθειακά τα σημεία .
Θα βρούμε τις ακέραιες λύσεις της εξίσωσης (3). Αρκεί να βρούμε τις ρητές λύσεις της.
Αν είναι μια ρητή λύση της (3) τότε η τριάδα θα είναι ακέραια λύση της (3). Θεωρούμε ότι οι λύσεις της μορφής , που δίνουν όμοια τρίγωνα είναι ταυτόσημες.
Για να είναι οι ρητοί λύσεις της (3) πρέπει και αρκεί να υπάρχει θετικός ρητός ώστε , οπότε . Από τις σχέσεις αυτές βρίσκουμε
( 4 )
( 5 )
Για να είναι τα μήκη πλευρών τριγώνου πρέπει και αρκεί να ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις (βλ. "Η τριγωνική ανισότητα")
• που ισχύει για κάθε
• ( 6 )
• ( 7 )
Οι (4), (5), (6) και (7) συναληθεύουν όταν .
Για κάθε ρητό και τυχαίο ρητό , έχουμε τη ρητή λύση .
Π.χ για και τυχαίο ρητό , έχουμε τη ρητή λύση .
Για έχουμε την ακέραια λύση .
[Λύση-Διερεύνηση Νίκου Ιωσηφίδη]
τελευταία επεξεργασία από gbaloglou σε Σάβ Μάιος 15, 2021 2:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Συμμετρία και συνευθειακότητα
Βάζω και το σχήμα της επιλεγείσας λύσης ( κατά τα συνήθη θεώρησα ) .
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Συμμετρία και συνευθειακότητα
Ευχαριστούμε και εμείς για το σχήμα, αλλά και για το ίδιο το πρόβλημα! Η διαπραγμάτευση είναι 100% του Νίκου, είναι δηλαδή δική του και η λύση και η παρουσίαση, εγώ απλώς το 'τύπωσα'.
Ως ελάχιστη δική μου συνεισφορά, ιδού ένα ακέραιο, μη ισόπλευρο 'συνευθειακό' τρίγωνο με ακόμη μικρότερη περίμετρο: {}.
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
- gbaloglou
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3331
- Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
- Επικοινωνία:
Re: Συμμετρία και συνευθειακότητα
Ξεκινώντας από το παραπάνω, ας βρούμε και το τρίγωνο με την ελάχιστη περίμετρο (σκιαγράφηση):
Χρησιμοποιώντας την μέθοδο του Νίκου, βρίσκουμε ότι τα ζητούμενα τρίγωνα είναι της μορφής {}. Από τις ανισότητες του Νίκου προκύπτει ότι η περίμετρος είναι τουλάχιστον ίση προς , και επειδή παραπάνω έχουμε ήδη περίμετρο ... συμπεραίνουμε ότι για ενδεχομένως μικρότερη περίμετρο οφείλει να ισχύει η .
Επειδή οι δεν έχουν κοινό διαιρέτη, συμπεραίνουμε ότι o οφείλει να διαιρεί τον . Ταυτόχρονα, ο οφείλει να διαιρεί τον . Δοκιμάζοντας τις διάφορες τιμές και περιορίζοντας αντίστοιχα τις δυνατές τιμές του μέσω βλέπουμε ότι 'γρήγορα' αρχίζουν να χάνονται οι ελπίδες για την : δεν το πήγα μέχρι τέλους, σταμάτησα στην , αλλά βρίσκω μία λύση για , δύο λύσεις για , μία λύση για , καμία λύση για , μία λύση για . Οι λύσεις αυτές είναι οι εξής:
-- τρίγωνο {}
-- τρίγωνο {}
-- τρίγωνο {}
-- τρίγωνο {}
-- τρίγωνο {}
Τα τελευταία δύο τρίγωνα τα γνωρίζαμε ήδη, αλλά η ελάχιστη δυνατή περίμετρος είναι, με ελάχιστη πιθανότητα λάθους, .
ΠΡΟΣΘΗΚΗ 16-5-21 7:55 πμ: Καμία πιθανότητα λάθους, καθώς -- πλέον -- η επιβάλλει και : δεν υπάρχουν πλέον 'υποψήφια' τρίγωνα με περίμετρο . (Ευχαριστώ τον Νίκο Ιωσηφίδη για συζήτηση και μικρές διορθώσεις.)
Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Re: Συμμετρία και συνευθειακότητα
Για σταθερή πλευρά , η πλευρά συναρτήσει της , είναι : .Al.Koutsouridis έγραψε: ↑Σάβ Μάιος 08, 2021 11:34 pmΕικασία μου είναι ότι η κορυφή θα πρέπει να κινείται σε έλλειψη με κέντρο το μέσο της πλευράς ,
μεγάλο άξονα στο φορέα αυτού του τμήματος και μήκους , μικρό άξονα μήκους .
Σχεδιάζοντας τρίγωνα με αυτές τις πλευρές , διαπιστώνουμε ότι η , κινείται σε ( κόκκινη) καμπύλη ,
η οποία μοιάζει με έλλειψη αλλά δεν είναι ... ( η έλλειψη με αυτούς τους άξονες είναι η μπλε καμπύλη ) .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 20 επισκέπτες