Μεγιστοποίηση εμβαδού

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12735
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Μεγιστοποίηση εμβαδού

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 26, 2021 7:32 am

Μεγιστοποίηση  εμβαδού 21.png
Μεγιστοποίηση εμβαδού 21.png (11.4 KiB) Προβλήθηκε 275 φορές
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , το S είναι το μέσο της υποτείνουσας BC και τα M , N ,

είναι τα μέσα των ημικυκλίων με διαμέτρους AB , BC αντίστοιχα .

Εκφράστε το (SMN) ως συνάρτηση των μηκών των κάθετων πλευρών b , c, ( b\leq c )

και υπολογίστε το μέγιστό του , αν το c είναι σταθερό . Εφαρμογή : (AB)=c =8
τελευταία επεξεργασία από KARKAR σε Δευ Απρ 26, 2021 2:30 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10729
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Δευ Απρ 26, 2021 9:15 am

KARKAR έγραψε:
Δευ Απρ 26, 2021 7:32 am
Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC , το S είναι το μέσο της υποτείνουσας BC και τα M , N ,

είναι τα μέσα των ημικυκλίων με διαμέτρους AB , BC αντίστοιχα .

Εκφράστε το (SMN) ως συνάρτηση των μηκών των κάθετων πλευρών b , c, ( b\leq c )

και υπολογίστε το μέγιστό του , αν το c είναι σταθερό . Εφαρμογή : (AB)=c =8
Προφανώς τα M, N είναι σημεία στην προέκταση της διχοτόμου AP του τριγώνου ABC.
Μεγ. εμβαδού.png
Μεγ. εμβαδού.png (17.13 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές
\displaystyle  \bullet Αν b=c, τα σημεία P, S συμπίπτουν και τα S, M, N είναι συνευθειακά.

\displaystyle  \bullet Έστω b<c, τότε \displaystyle \frac{{CP}}{{PS}} = \frac{b}{{MS}} \Leftrightarrow \frac{{CP}}{{\dfrac{a}{2} - CP}} = \frac{b}{{MS}}, με \displaystyle CP = \frac{{ab}}{{b + c}},

απ' όπου \boxed{MS = \frac{{c - b}}{2}} Εξάλλου \displaystyle NS = \frac{a}{2} και με νόμο συνημιτόνου στο MSN έχω:

\displaystyle \frac{{{a^2}}}{4} = M{N^2} + \frac{{{{(c - b)}^2}}}{4} + MN \cdot (c - b)\frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow 2M{N^2} + MN(c - b)\sqrt 2  - bc = 0,

απ' όπου βρίσκω \displaystyle MN = \frac{{b\sqrt 2 }}{2} και (MSN) = \frac{1}{2}MS \cdot MN\sin 135^\circ  \Leftrightarrow \boxed{(MSN) = \frac{1}{8}b(c - b)}

\displaystyle b + c - b = c σταθερό, άρα το γινόμενο b(c-b) μεγιστοποιείται όταν \displaystyle b = c - b \Leftrightarrow \boxed{b=\dfrac{c}{2}} και γίνεται ίσο με

\boxed{ {(SMN)_{\max }} = \frac{{{c^2}}}{{32}}} Για το τρίγωνο της εφαρμογής b=4 και \boxed{ {(SMN)_{\max }} =2}


Άβαταρ μέλους
Γιώργος Ρίζος
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 4916
Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
Τοποθεσία: Κέρκυρα

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Γιώργος Ρίζος » Δευ Απρ 26, 2021 6:17 pm

Kαλησπέρα σε όλους.
26-01-2021 Γεωμετρία a.png
26-01-2021 Γεωμετρία a.png (37.13 KiB) Προβλήθηκε 226 φορές

A(0,0), B(c, 0), C(0,b), c σταθερό, b > 0, οπότε  \displaystyle S\left( {\frac{c}{2},\;\frac{b}{2}} \right) και  \displaystyle M\left( {\frac{c}{2},\;\frac{c}{2}} \right)

Είναι  \displaystyle MS = \left| {\frac{c}{2} - BS} \right| = \frac{{\left| {c - b} \right|}}{2}

MAB ισοσκελές, άρα  \displaystyle \widehat {BMN} = 135^\circ

 \displaystyle AM:\;y = x,\;x \ge 0 ,

Το ημικύκλιο διαμέτρου BC έχει εξίσωση  \displaystyle {C_2}:{\left( {x - \frac{c}{2}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{b}{2}} \right)^2} = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{4},\;\;y \ge b

Οπότε, λύνοντας το σύστημά τους για x > 0 έχουμε  \displaystyle 2{x^2} - \left( {b + c} \right)x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{b + c}}{2} άρα  \displaystyle N\left( {\frac{{b + c}}{2},\;\frac{{b + c}}{2}} \right) .

Οπότε  \displaystyle MN = \sqrt {2{{\left( {\frac{{b + c}}{2} - \frac{c}{2}} \right)}^2}}  = \frac{{b\sqrt 2 }}{2}

Άρα  \displaystyle \left( {MSN} \right) = \frac{{MN \cdot MS \cdot \eta \mu 135^\circ }}{2} = \frac{{\frac{{\left| {c - b} \right|}}{2} \cdot \frac{{b\sqrt 2 }}{2} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{b\left| {c - b} \right|}}{8},\;b \ge 0

Για b\le c είναι  \displaystyle \left( {MSN} \right) = \frac{{b\left( {c - b} \right)}}{8}. Επειδή b + c – b=c, σταθερό, το γινόμενό τους έχει μέγιστο όταν b = c-b δηλαδή όταν  \displaystyle b = \frac{c}{2} , με τιμή  \displaystyle {\left( {MSN} \right)_{\max }} = \frac{{{c^2}}}{{32}}.
(Η θέση μεγίστου εντοπίζεται επίσης με τη μέθοδο του τριωνύμου ή με τη βοήθεια της παραγώγου).

Για b > c είναι  \displaystyle \left( {MSN} \right) = \frac{b^2-bc}{8}. Δεν έχει μέγιστο, αφού το εμβαδόν αυξάνει απεριόριστα, καθώς αυξάνει το b,
(δηλαδή  \displaystyle \mathop {\lim }\limits_{b \to  + \infty } \frac{{{b^2} - bc}}{2} =  + \infty ).


Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12735
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Δευ Απρ 26, 2021 7:08 pm

Γιώργο ( Ρίζο ) , ευχαριστώ για την υπόδειξη ότι πρέπει : b\leq c .

Δεν ήταν η λύση μου αυτή που προτείνεις ( ήταν παρόμοια με του Γ . Βισβίκη ) αλλά αφού έχουμε

τις συντεταγμένες των κορυφών , προκύπτει ότι :  (SMN)= \dfrac{1}{2} \begin{vmatrix}
\dfrac{b}{2} & \dfrac{c}{2}\\
\\ 
0 & \dfrac{c-b}{2}
\end{vmatrix}=\dfrac{b(c-b)}{8}


Άβαταρ μέλους
Doloros
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 8089
Εγγραφή: Τρί Αύγ 07, 2012 4:09 am
Τοποθεσία: Ιεράπετρα Κρήτης

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Doloros » Τρί Απρ 27, 2021 12:00 am

Μεγιστοποίηση  εμβαδού.png
Μεγιστοποίηση εμβαδού.png (21.92 KiB) Προβλήθηκε 184 φορές
Έστω O το κέντρο του μικρού ημικυκλίου και T η προβολή του N στην AB.

Στο τετράπλευρο MSBN τα S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,T βλέπουν υπό ορθή γωνία την BN άρα αυτό είναι εγγράψιμο σε κύκλο διαμέτρου BN.

Η εξωτερική του γωνία στο T θα είναι 45^\circ , έτσι : 2\left( {MSN} \right) = MS \cdot OT και αφού

\boxed{MS + OT = MS + SO = \frac{c}{2}} το \left( {MSN} \right) μεγιστοποιείται όταν \boxed{MS = SO = \frac{c}{4}}

και τότε γίνεται : \boxed{{{\left( {MSN} \right)}_{\max }} = \frac{{{c^2}}}{{32}}}

Παρατήρηση .

Ο προσδιορισμός του εμβαδού ως έκφραση των b\,\,\kappa \alpha \iota \,\,c:

\boxed{\left( {MSN} \right) = \frac{1}{2}MS \cdot OT = \frac{1}{2}MS \cdot OS = \frac{1}{2}MS\frac{b}{2} = \frac{1}{2}\left( {\frac{c}{2} - \frac{b}{2}} \right)\frac{b}{2} = \frac{1}{8}\left( {c - b} \right)b}


Άβαταρ μέλους
nickchalkida
Δημοσιεύσεις: 200
Εγγραφή: Τρί Ιουν 03, 2014 11:59 am
Επικοινωνία:

Re: Μεγιστοποίηση εμβαδού

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nickchalkida » Τρί Απρ 27, 2021 11:55 am

Αν και το θέμα έχει καλυφθεί επαρκώς, ... ακόμα μία οπτική.
Επειδή είναι

\displaystyle{ 
(MSN) = {1 \over 2} MS \cdot DN 
}

αλλά είναι

\displaystyle{ 
\begin{aligned} 
& MS = MO - SO = {c \over 2} - {b \over 2} \cr 
&  {DN \over SO} = {DS \over OB} = {SB \over SN} = 1 \rightarrow DN = SO = {b \over 2} \cr  
\end{aligned} 
}

άρα

\displaystyle{ 
(MSN) =  {1 \over 2}{c-b \over 2}{b \over 2} = {b(c-b) \over 8} 
}

(... τα υπόλοιπα όπως η πρώτη απάντηση του Γιώργου)
Συνημμένα
rsz_megisto147.png
rsz_megisto147.png (43.56 KiB) Προβλήθηκε 156 φορές


Μη είναι βασιλικήν ατραπόν επί την γεωμετρίαν.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες