Ώρα εφαπτομένης 102

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Ώρα εφαπτομένης 102

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 23, 2021 8:17 pm

Ώρα εφαπτομένης  102.png
Ώρα εφαπτομένης 102.png (8.26 KiB) Προβλήθηκε 236 φορές
Στο παραλληλόγραμμο ABCD τα σημεία M , N είναι τα μέσα των πλευρών AB , AD αντίστοιχα ,

ενώ το S είναι το σημείο τομής της CN με την BD . Αν : SN=SM , υπολογίστε την : \tan\hat{A} ,

συναρτήσει των πλευρών AB=a και AD=b . Στο δοθέν σχήμα είναι : a=5 , b=\sqrt{13} .



Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10647
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: Ώρα εφαπτομένης 102

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Σάβ Απρ 24, 2021 6:06 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 23, 2021 8:17 pm
Ώρα εφαπτομένης 102.pngΣτο παραλληλόγραμμο ABCD τα σημεία M , N είναι τα μέσα των πλευρών AB , AD αντίστοιχα ,

ενώ το S είναι το σημείο τομής της CN με την BD . Αν : SN=SM , υπολογίστε την : \tan\hat{A} ,

συναρτήσει των πλευρών AB=a και AD=b . Στο δοθέν σχήμα είναι : a=5 , b=\sqrt{13} .
Έστω SN=SM=x. Επειδή BC=2ND θα είναι BS=2SD=2y. Εφαρμόζω 1ο Θ. διαμέσων στα τρίγωνα SAB, SAD.
Ώρα εφαπτομένης.102.png
Ώρα εφαπτομένης.102.png (15.96 KiB) Προβλήθηκε 174 φορές
\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 
A{S^2} + 4{y^2} = 2{x^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}\\ 
\\ 
A{S^2} + {y^2} = 2{x^2} + \dfrac{{{b^2}}}{2} 
\end{array} \right.\mathop  \Rightarrow \limits^{( - )} 3{y^2} = \frac{{{a^2} - {b^2}}}{2} \Leftrightarrow B{D^2} = 9{y^2} = \frac{3}{2}\left( {{a^2} - {b^2}} \right)

Με νόμο συνημιτόνου τώρα στο ABD βρίσκω \displaystyle \cos \theta  = \frac{{5{b^2} - {a^2}}}{{4ab}}. Αλλά, \displaystyle \tan \theta  = \frac{{\sqrt {1 - {{\cos }^2}\theta } }}{{\cos \theta }},

απ' όπου \boxed{ \tan \theta  = \frac{{\sqrt {({a^2} - {b^2})(25{b^2} - {a^2})} }}{{5{b^2} - {a^2}}}} και για a=5 , b=\sqrt{13}, \boxed{\tan \theta  = \frac{3}{2}}



Bonus: Για το ειδικό αυτό τρίγωνο είναι BD=3\sqrt 2 και με νόμο πάλι συνημιτόνου βρίσκω \boxed{A\widehat BD=45^\circ}


STOPJOHN
Δημοσιεύσεις: 2098
Εγγραφή: Τετ Οκτ 05, 2011 7:08 pm
Τοποθεσία: Δροσιά, Αττικής

Re: Ώρα εφαπτομένης 102

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από STOPJOHN » Σάβ Απρ 24, 2021 8:13 pm

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 23, 2021 8:17 pm
Ώρα εφαπτομένης 102.pngΣτο παραλληλόγραμμο ABCD τα σημεία M , N είναι τα μέσα των πλευρών AB , AD αντίστοιχα ,

ενώ το S είναι το σημείο τομής της CN με την BD . Αν : SN=SM , υπολογίστε την : \tan\hat{A} ,

συναρτήσει των πλευρών AB=a και AD=b . Στο δοθέν σχήμα είναι : a=5 , b=\sqrt{13} .
Εστω NS=SM=b,

NT=TM=\dfrac{MN}{2}=OD=OB,NM//DB\Rightarrow \dfrac{OS}{NT}=\dfrac{SC}{NC}=\dfrac{OC} {CT}

    =\dfrac{2}{3}\Rightarrow OS=l,DS=2l,OL=l,LB=2l

DNMS,ANOM παραλληλόγραμα

MSB,d^{2}+\dfrac{a^{2}}{4}=\dfrac{b^{2}}{2}+8l^{2},(1), 

MBC.l^{2}=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{24},(2),(1),(2)\Rightarrow d^{2}=\dfrac{a^{2}}{12}+\dfrac{b^{2}}{6}

     NDC,



      cos\theta=\dfrac{5b}{4a}-\dfrac{a}{4b}=\dfrac{5-x^{2}}{4x},x=\dfrac{a}{b},

        tan^{2}\theta =\dfrac{(x+5) (x-1)^{2}}{5-x}

            

,x=\dfrac{5\sqrt{13}}{13},tan\theta =\dfrac{3}{2}
Συνημμένα
Ωρα εφαπτομένης 102.png
Ωρα εφαπτομένης 102.png (70.13 KiB) Προβλήθηκε 150 φορές


α. Η δυσκολία με κάνει δυνατότερο.
β. Όταν πέφτεις να έχεις τη δύναμη να σηκώνεσαι.
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 12683
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Ώρα εφαπτομένης 102

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Κυρ Απρ 25, 2021 8:49 am

Ώρα εφαπτομένης  102.png
Ώρα εφαπτομένης 102.png (15.29 KiB) Προβλήθηκε 122 φορές
Το S είναι το βαρύκεντρο του DAC . Προεκτείνοντας την MS , το S καθίσταται βαρύκεντρο

και του TAB . Συνεπώς : MT=NC=3x . Με νόμο συνημιτόνων στα AMT , DNC ,

βρίσκουμε το \cos\theta και συνεχίζουμε όπως οι προηγούμενοι λύτες , τους οποίους ευχαριστώ .

Η άσκηση προέκυψε στην προσπάθεια δημιουργίας θέματος για την Α' Λυκείου , με αντικείμενο το βαρύκεντρο .


Μιχάλης Τσουρακάκης
Δημοσιεύσεις: 2080
Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης

Re: Ώρα εφαπτομένης 102

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μιχάλης Τσουρακάκης » Δευ Απρ 26, 2021 12:34 am

KARKAR έγραψε:
Παρ Απρ 23, 2021 8:17 pm
Ώρα εφαπτομένης 102.pngΣτο παραλληλόγραμμο ABCD τα σημεία M , N είναι τα μέσα των πλευρών AB , AD αντίστοιχα ,

ενώ το S είναι το σημείο τομής της CN με την BD . Αν : SN=SM , υπολογίστε την : \tan\hat{A} ,

συναρτήσει των πλευρών AB=a και AD=b . Στο δοθέν σχήμα είναι : a=5 , b=\sqrt{13} .
Επειδή N μέσον του AD και \dfrac{CB}{CN}=2= \dfrac{CS}{SN}  \Rightarrow  S κ.βάρους του τριγώνου ADC

Με P,T μέσα των CS,CD,είναι  PM \bot MN,PT κι έστω AL \bot DB

Λόγω ισότητας των κόκκινων γωνιών κι επειδή DA=TM=b \Rightarrow  \triangle DAL= \triangle TPM,

άρα DL=PT= \dfrac{DS}{2} \Rightarrow DL=LS= \dfrac{BD}{6} και AS=AD=b

Ο κύκλος (A,b) τέμνει την AB στο K και

BS . BD=(a-b)(a-b+2b) \Rightarrow  \dfrac{2}{3}BD^2=a^2-b^2 \Rightarrow BD^2= \dfrac{3}{2}(a^2-b^2)

Άρα  DL^2= \dfrac{1}{36}BD^2= \dfrac{1}{24}(a^2-b^2) και με Π.Θ στο  \triangle DLA \Rightarrow AL^2= \dfrac{25b^2-a^2}{24}

Ισχύει , tanx= \dfrac{DL}{AL} ,tany= \dfrac{LB}{AL} και tanDAB=tan(x+y)=.. \dfrac{ \sqrt{(a^2-b^2).((25b^2-a^2))} }{5b^2-a^2}
ώρα εφαπτομένης 102.png
ώρα εφαπτομένης 102.png (27.32 KiB) Προβλήθηκε 95 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης