4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες

Συντονιστές: AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ, silouan, george visvikis

Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2971
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Πέμ Απρ 22, 2021 6:29 pm

Με αφορμή το πολύ όμορφο πρόβλημα που μόλις συζητήθηκε εδώ, τολμώ να προτείνω το εξής (χωρίς λύση ή έστω απάντηση):

Να εξεταστεί αν στο παρακάτω σχήμα οι τρεις νέες κοινές εφαπτόμενες είναι όντως κοινές σε τρεις κύκλους, και αν μαζί με τις παλιές κοινές εφαπτόμενες όντως ορίζουν κανονικό εξάγωνο.

τετρακυκλεξάγωνο.png
τετρακυκλεξάγωνο.png (23.83 KiB) Προβλήθηκε 307 φορές


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.

Λέξεις Κλειδιά:
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 23, 2021 2:29 pm

gbaloglou έγραψε:
Πέμ Απρ 22, 2021 6:29 pm
Με αφορμή το πολύ όμορφο πρόβλημα που μόλις συζητήθηκε εδώ, τολμώ να προτείνω το εξής (χωρίς λύση ή έστω απάντηση):

Να εξεταστεί αν στο παρακάτω σχήμα οι τρεις νέες κοινές εφαπτόμενες είναι όντως κοινές σε τρεις κύκλους, και αν μαζί με τις παλιές κοινές εφαπτόμενες όντως ορίζουν κανονικό εξάγωνο.


τετρακυκλεξάγωνο.png
Καλησπέρα Γιώργο!
4 κύκλοι 6 εφαπτόμενες.png
4 κύκλοι 6 εφαπτόμενες.png (30.76 KiB) Προβλήθηκε 262 φορές
Η απάντηση είναι ναι σε όλα. Αργότερα η αιτιολόγηση.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2971
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: 4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Απρ 23, 2021 2:32 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Απρ 23, 2021 2:29 pm
gbaloglou έγραψε:
Πέμ Απρ 22, 2021 6:29 pm
Με αφορμή το πολύ όμορφο πρόβλημα που μόλις συζητήθηκε εδώ, τολμώ να προτείνω το εξής (χωρίς λύση ή έστω απάντηση):

Να εξεταστεί αν στο παρακάτω σχήμα οι τρεις νέες κοινές εφαπτόμενες είναι όντως κοινές σε τρεις κύκλους, και αν μαζί με τις παλιές κοινές εφαπτόμενες όντως ορίζουν κανονικό εξάγωνο.


τετρακυκλεξάγωνο.png
Καλησπέρα Γιώργο!

4 κύκλοι 6 εφαπτόμενες.png

Η απάντηση είναι ναι σε όλα. Αργότερα η αιτιολόγηση.


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 23, 2021 5:05 pm

Δεν είμαι απόλυτα σίγουρος για την πληρότητα της απόδειξης.
4 κύκλοι 6 εφαπτόμενες.png
4 κύκλοι 6 εφαπτόμενες.png (30.76 KiB) Προβλήθηκε 240 φορές
\displaystyle  \bullet Φέρνω τις ευθείες \displaystyle \varepsilon ||AM,\zeta ||CL,\eta ||BK, εφαπτόμενες στον κύκλο (O). Άρα κάθε πράσινη ευθεία απέχει από

την μπλε παράλληλή της απόσταση ίση με 2r. Οι πράσινες ευθείες τέμνονται ανά δύο και σχηματίζουν το τρίγωνο EFG.

Το KLM είναι ισόπλευρο, άρα και το EFG θα είναι ισόπλευρο και ίσο με KLM. Έτσι, τα ίσα ισόπλευρα τρίγωνα

KLM και EFG έχουν τις πλευρές τους παράλληλες και κοινό εγγεγραμμένο κύκλο. Επομένως οι κορυφές τους θα

είναι κορυφές κανονικού εξαγώνου.

\displaystyle  \bullet Προφανώς εκ κατασκευής η \displaystyle (\varepsilon ) εφάπτεται και στον κύκλο (I) και επειδή η CL είναι κοινή εσωτερική εφαπτομένη

των (J), (Y), τότε και η \displaystyle (\varepsilon ) λόγω συμμετρίας θα είναι κοινή εσωτερική εφαπτομένη των (I),  (J). Άρα η \displaystyle (\varepsilon ) είναι

κοινή εφαπτομένη των τριών κύκλων (I),  (O), (J). Ομοίως και για τις άλλες δύο πράσινες ευθείες.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2971
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: 4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Απρ 23, 2021 6:08 pm

Γιώργο γεια σου, η απόδειξη σου μου φαίνεται μια χαρά!

Νομίζω ότι το πιο κρίσιμο σημείο είναι η τρίτη σειρά και η ισότητα των δύο ισοπλεύρων τριγώνων. Πολύ καλά, ισχύει γενικώς ότι αν φέρουμε παράλληλες προς κάθε πλευρά ισοπλεύρου τριγώνου δημιουργείαι νέο ισόπλευρο τρίγωνο, όχι αναγκαστικά ίσο προς το αρχικό. Όταν όμως οι παράλληλες αυτές είναι εφαπτόμενες στον εγγεγραμμένο κύκλο, τότε το 'εσωτερικό' εξάγωνο που δημιουργούν οι τομές τους είναι κανονικό εξάγωνο (ως περιγεγραμμένο σε κύκλο -- εύκολο από ίσα 'εφαπτομενικά' ορθογώνια τρίγωνα κοινής υποτείνουσας): από εδώ προκύπτουν και άλλες ισότητες και κανονικότητες και συμμετρίες*, και βεβαίως και η κανονικότητα του μεγάλου εξαγώνου, νομίζω!

*ειδικώτερα οι 'ανακλάσεις πλευράς' του κανονικού εξαγώνου ... που πολύ έξυπνα χρησιμοποιείς για να (απο)δείξεις και στενές επαφές τρίτου κύκλου ;)


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 23, 2021 7:43 pm

Γεια σου Γιώργο!

Ως προς την ισότητα των ισοπλεύρων δεν έχω αμφιβολία. Έχουν κοινό εγγεγραμμένο κύκλο ακτίνας r, άρα θα έχουν και

πλευρές ίσες με 2r\sqrt 3 και οι επαφές θα είναι στα μέσα των πλευρών. Άρα, τα KEFM, ELMG, LFGK είναι

ίσα ορθογώνια, οπότε το KELFMG έχει ίσες πλευρές και ίσες γωνίες, δηλαδή είναι κανονικό εξάγωνο.
2 ισ. 2 εξ..png
2 ισ. 2 εξ..png (21.27 KiB) Προβλήθηκε 203 φορές
Ωστόσο, αυτό που με προβλημάτισε, όχι ως προς την ορθότητα αλλά ως προς την πληρότητα της αιτιολόγησης, είναι οι

επαφές με τον τρίτο κύκλο.


Άβαταρ μέλους
gbaloglou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2971
Εγγραφή: Παρ Φεβ 27, 2009 10:24 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονικη
Επικοινωνία:

Re: 4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gbaloglou » Παρ Απρ 23, 2021 8:00 pm

george visvikis έγραψε:
Παρ Απρ 23, 2021 7:43 pm
Γεια σου Γιώργο!

Ως προς την ισότητα των ισοπλεύρων δεν έχω αμφιβολία. Έχουν κοινό εγγεγραμμένο κύκλο ακτίνας r, άρα θα έχουν και

πλευρές ίσες με 2r\sqrt 3 και οι επαφές θα είναι στα μέσα των πλευρών. Άρα, τα KEFM, ELMG, LFGK είναι

ίσα ορθογώνια, οπότε το KELFMG έχει ίσες πλευρές και ίσες γωνίες, δηλαδή είναι κανονικό εξάγωνο. 2 ισ. 2 εξ..png
Ωστόσο, αυτό που με προβλημάτισε, όχι ως προς την ορθότητα αλλά ως προς την πληρότητα της αιτιολόγησης, είναι οι

επαφές με τον τρίτο κύκλο.
Γιώργο τον συλλογισμό σου τον αντιλήφθηκα ως εξής: οι 4 κύκλοι και το εξάγωνο έχουν ως άξονα συμμετρίας την JO, και οι LM, EF είναι συμμετρικές αλλήλων ως προς την JO^ η LM εφάπτεται του κύκλου Y, άρα, λόγω συμμετρίας, εφάπτεται και η EF του I.

Πλήρης δεν είναι; Που/πως χωλαίνει;


Γιώργος Μπαλόγλου -- κρυσταλλογράφω άρα υπάρχω

Ὁρᾷς, τὸ κάλλος ὅσσον ἐστὶ τῆς λίθου, ἐν ταῖς ἀτάκτοις τῶν φλεβῶν εὐταξίαις. -- Παλατινή Ανθολογία 9.695 -- Ιδού του πετραδιού η άμετρη ομορφιά, μεσ' των φλεβών τις άναρχες πειθαρχίες.
Άβαταρ μέλους
george visvikis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 10649
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 01, 2013 9:35 am

Re: 4 κύκλοι, 6 εφαπτόμενες

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από george visvikis » Παρ Απρ 23, 2021 9:11 pm

gbaloglou έγραψε:
Παρ Απρ 23, 2021 8:00 pm
george visvikis έγραψε:
Παρ Απρ 23, 2021 7:43 pm
Γεια σου Γιώργο!

Ως προς την ισότητα των ισοπλεύρων δεν έχω αμφιβολία. Έχουν κοινό εγγεγραμμένο κύκλο ακτίνας r, άρα θα έχουν και

πλευρές ίσες με 2r\sqrt 3 και οι επαφές θα είναι στα μέσα των πλευρών. Άρα, τα KEFM, ELMG, LFGK είναι

ίσα ορθογώνια, οπότε το KELFMG έχει ίσες πλευρές και ίσες γωνίες, δηλαδή είναι κανονικό εξάγωνο. 2 ισ. 2 εξ..png
Ωστόσο, αυτό που με προβλημάτισε, όχι ως προς την ορθότητα αλλά ως προς την πληρότητα της αιτιολόγησης, είναι οι

επαφές με τον τρίτο κύκλο.
Γιώργο τον συλλογισμό σου τον αντιλήφθηκα ως εξής: οι 4 κύκλοι και το εξάγωνο έχουν ως άξονα συμμετρίας την JO, και οι LM, EF είναι συμμετρικές αλλήλων ως προς την JO^ η LM εφάπτεται του κύκλου Y, άρα, λόγω συμμετρίας, εφάπτεται και η EF του I.

Πλήρης δεν είναι; Που/πως χωλαίνει;
Γιώργο, ο συλλογισμός μου είναι αυτός ακριβώς που περιγράφεις. Είχα κάποιες αμφιβολίες γιατί όπως ξέρεις, πολλές φορές τυχαίνει να "κολλήσουμε" και να πιστεύουμε ότι κάτι μας διαφεύγει. Σ' ευχαριστώ πάντως για την διαβεβαίωση της πληρότητας.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία - Επίπεδο Θαλή/Ευκλείδη (Seniors)”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης