Εμβαδόν τραπεζίου

KARKAR · #1

: Εμβαδόν τραπεζίου.png (12.16 KiB) Προβλήθηκε 591 φορές

Οι πλευρές του ορθογωνίου τραπεζίου ABCD

, εφάπτονται στον γαλάζιο κύκλο . Υπολογίστε

το εμβαδόν του , συναρτήσει της μεγάλης βάσης του , AD=a

. ( Είναι ακόμη : $BC=\dfrac{3a}{5}$ ) .

STOPJOHN · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 13, 2021 8:01 pm
Εμβαδόν τραπεζίου.pngΟι πλευρές του ορθογωνίου τραπεζίου , εφάπτονται στον γαλάζιο κύκλο . Υπολογίστε

το εμβαδόν του , συναρτήσει της μεγάλης βάσης του , . ( Είναι ακόμη : $BC=\dfrac{3a}{5}$ ) .

Το τετράπλευρο ABCD

είναι περιγγεγραμμένο σε κύκλο άρα $BC+AD=AB+CD\Rightarrow AB+CD=\dfrac{8a}{5},(1), NC=CT=x,MD=DT=y,OM=r,$

$r+x=\dfrac{3a}{5},CD=x+a-r,2r+x+a-r=a+\dfrac{3a}{5}\Rightarrow x=\dfrac{3a}{5}-r,y=a-r, (ABCD)=\dfrac{8a}{5}.r,(*),\hat{C}+\hat{D}=180^{0},\hat{OCD}+\hat{ODC}=90^{0}\Rightarrow \hat{COD}=90^{0},OT^{2}=CT.TD\Rightarrow r^{2}=x.y\Rightarrow r=\dfrac{3a}{8},(**) (*),(**)\Rightarrow (ABCD)=\dfrac{3a^{2}}{5}$

#3

: Εμβαδόν Τραπεζίου.png (8.45 KiB) Προβλήθηκε 563 φορές

Έστω

η προβολή του

στη βάση

. Αν θέσω : $a = 20k \Rightarrow BC = 12k$ και ας είναι , $CZ = AB = h\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CD = d$ .

Επειδή το τραπέζιο είναι περιγράψιμμο σε κύκλο θα ισχύει : $AB + DC = AD + BC \Rightarrow h + d = 32k$ .

Λόγω του Π. Θ. στο $\vartriangle ZDC$ θα έχω ταυτόχρονα : $\left\{ \begin{gathered} h + d = 32k \hfill \\ {d^2} = {h^2} + 64{k^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} h = 15k \hfill \\ d = 17k \hfill \\ \end{gathered} \right.$

$\boxed{\left( {ABCD} \right) = \frac{{AD + BC}}{2}AB = 16 \cdot 15{k^2} = 16 \cdot 15\frac{{{a^2}}}{{400}} = \frac{{3{a^2}}}{5}}$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 13, 2021 8:01 pm
Εμβαδόν τραπεζίου.pngΟι πλευρές του ορθογωνίου τραπεζίου , εφάπτονται στον γαλάζιο κύκλο . Υπολογίστε

το εμβαδόν του , συναρτήσει της μεγάλης βάσης του , . ( Είναι ακόμη : $BC=\dfrac{3a}{5}$ ) .

Έστω

η ακτίνα του κύκλου. $D\widehat OC=90^\circ$ (DO, CO

είναι διχοτόμοι των γωνιών $\widehat D, \widehat C).$ Από τα όμοια τρίγωνα OCN, ODM

έχω:

: Εμβαδόν τραπεζίου.ΚΑ.png (13.7 KiB) Προβλήθηκε 530 φορές

$\displaystyle \frac{{\dfrac{{3a}}{5} - r}}{r} = \frac{r}{{a - r}} \Leftrightarrow$ $\boxed{r = \frac{{3a}}{8}}$ και $\displaystyle (ABC) = \left( {a + \frac{{3a}}{5}} \right)r \Leftrightarrow$ $\boxed{(ABC)=\frac{3a^2}{5}}$

nickchalkida · #5

Επειδή το τραπέζιο είναι περιγράψιμο είναι $AB + CD = {\displaystyle{8a \over 5}}$ και

$\displaystyle{ ED^2 = CD^2 -AB^2 \rightarrow \left ( {2a \over 5} \right )^2 = (CD+AB)(CD-AB) \rightarrow CD-AB = {a \over 10} }$

οπότε αφαιρώντας κατά μέλη

$\displaystyle{ 2AB = {16a \over 10} - {a \over 10} \rightarrow AB = {3a \over 4} \ \ \ , \ \ \ (ABCD) = {1 \over 2}{3a+5a \over 5}{3a \over 4}={3a^2 \over 5} }$

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 13, 2021 8:01 pm
Εμβαδόν τραπεζίου.pngΟι πλευρές του ορθογωνίου τραπεζίου , εφάπτονται στον γαλάζιο κύκλο . Υπολογίστε

το εμβαδόν του , συναρτήσει της μεγάλης βάσης του , . ( Είναι ακόμη : $BC=\dfrac{3a}{5}$ ) .

$\dfrac{x+2r}{x}= \dfrac{5}{3} \Rightarrow x=3r \Rightarrow tan \theta = \dfrac{1}{4} \Rightarrow tan2 \theta = \dfrac{8}{15}$

Άρα, $\dfrac{a}{5r}= \dfrac{8}{15} \Rightarrow2 r= \dfrac{3a}{4}$ οπότε $(ABCD)= \dfrac{3a^2}{5}$

: ET.png (23.63 KiB) Προβλήθηκε 446 φορές

Εμβαδόν τραπεζίου

Εμβαδόν τραπεζίου

Re: Εμβαδόν τραπεζίου

Re: Εμβαδόν τραπεζίου

Re: Εμβαδόν τραπεζίου

Re: Εμβαδόν τραπεζίου

Re: Εμβαδόν τραπεζίου

Μέλη σε σύνδεση