Τετραγωνίσματα

#1

: Τετραγωνίσματα.png (12.6 KiB) Προβλήθηκε 596 φορές

Το

είναι τετράγωνο, τα E, F

είναι τα συμμετρικά του

ως προς

αντίστοιχα και

είναι

η προβολή του

στην

Να δείξετε ότι η

εφάπτεται στον εγγεγραμμένο κύκλο του τετραγώνου.

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Απρ 13, 2021 12:50 pm
Τετραγωνίσματα.png
Το είναι τετράγωνο, τα είναι τα συμμετρικά του ως προς αντίστοιχα και είναι

η προβολή του στην Να δείξετε ότι η εφάπτεται στον εγγεγραμμένο κύκλο του τετραγώνου.

: Τετραγωνίσματα.png (67.79 KiB) Προβλήθηκε 559 φορές

Ας είναι $\displaystyle{Z}$ το σημείο τομής της $\displaystyle{BH}$ με την κάθετη στην $\displaystyle{CE}$ στο σημείο $\displaystyle{E}$ .

Από την προφανή ομοκυκλικότητα των $\displaystyle{A,H,B,C,D}$ λόγω των ορθών γωνιών σε κύκλο διαμέτρου $\displaystyle{BD}$ προκύπτει ότι $\displaystyle{\angle EBZ = \angle CDE}$ (εξωτερική – απέναντι εσωτερική) οπότε και με $\displaystyle{EB = CB = CD}$ προκύπτει ότι τα ορθογώνια τρίγωνα $\displaystyle{\vartriangle ZEB,\vartriangle ECD}$ είναι ίσα (μια κάθετη πλευρά και μια οξεία γωνία) άρα θα είναι $\displaystyle{ZE = EC = CF}$ και συνεπώς το $\displaystyle{ZECF}$ είναι τετράγωνο (ομοιόθετο του αρχικού με κέντρο ομοιοθεσία το σημείο $\displaystyle{C}$ και λόγο $\displaystyle{2}$ .

Από τις προφανείς ομοκυκλικότητες των σημείων $\displaystyle{Z,H,O,D,F}$ (σε κύκλο διαμέτρου $\displaystyle{ZD}$ και $\displaystyle{Z,E,B,O}$ (σε κύκλο διαμέτρου $\displaystyle{BZ}$ ) θα είναι $\displaystyle{\angle OFD = \angle OZH = \angle OEB\mathop = \limits^{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha } \angle OFC}$ και αφού $\displaystyle{FC}$ εφάπτεται στον έγκυκλο του αρχικού τετραγώνου και η $\displaystyle{FH}$ (συμμετρική της $\displaystyle{FC}$ ως προς την διακετρική ευθεία $\displaystyle{FO}$ θα εφάπτεται του εν λόγω κύκλου και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί .

STOPJOHN · #3

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Απρ 13, 2021 12:50 pm
Τετραγωνίσματα.png
Το είναι τετράγωνο, τα είναι τα συμμετρικά του ως προς αντίστοιχα και είναι

η προβολή του στην Να δείξετε ότι η εφάπτεται στον εγγεγραμμένο κύκλο του τετραγώνου.

Εστω οτι η

εφάπτεται στον κύκλο θα αποδειχθεί ότι $BH\perp DE$

Αν IB=x,

τότε

$(FIC)=\tau .\dfrac{a}{2},(1),2\tau =3a+x+IF,(2), (1)\Rightarrow \tau =2a+2x,(3), (2),(3)\Rightarrow IF=a+3x,IF^{2}=5a^{2}+x^{2}+2ax$

Οπότε $2x^{2}+ax-a^{2}=0\Rightarrow x=\dfrac{a}{2}\Rightarrow a-x=\dfrac{a}{2}$

Στο τρίγωνο ADC

με τέμνουσα $FHI,\dfrac{EH}{HD}.\dfrac{a}{2a}\dfrac{IC}{EI}=1\Rightarrow \dfrac{EH}{HD}=\dfrac{2}{3},ED^{2}=5a^{2},EH=\dfrac{2a}{\sqrt{5}},EH.ED=EB.EC$

και το τετράπλευρο HBCD

είναι εγράψιμο άρα $\hat{BHD}=90^{0}$

#4

Επιλέγω καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων με μοναδιαίο διάνυσμα $\boxed{\overrightarrow i = \overrightarrow {CD} }$ .

$\overrightarrow {ED} = \left( {1, - 2} \right)$ με κλίση k = - 2

άρα η κλίση της ευθείας ,

είναι $l = - \dfrac{1}{2}$ .

$H:\left\{ \begin{gathered} x + \frac{y}{2} = 1 \hfill \\ y - 1 = \frac{x}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \boxed{H\left( {\frac{2}{5},\frac{6}{5}} \right)}$

: Τετραγωνισμοί_Βισβίκη.png (22.59 KiB) Προβλήθηκε 503 φορές

Έτσι η ευθεία $\varepsilon \equiv HF \to 3x + 4y - 6 = 0$ και η απόσταση του κέντρου $K\left( {\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}} \right)$ απ’ αυτή είναι : $\boxed{d(K,\varepsilon ) = \dfrac{{|\dfrac{3}{2} + 2 - 6|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \dfrac{1}{2} = \rho }$

όπου $\rho$ η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τετράγωνο, άρα ο κύκλος εφάπτεται στη ευθεία $\varepsilon$ .

Γιώργος Μήτσιος · #5

Με ιδιαίτερη χαρά ..Καλημερίζω τους φίλους!

: 14-3 Τετραγωνίσματα!.png (109.45 KiB) Προβλήθηκε 491 φορές

Ας πάρουμε για ευκολία και χωρίς βλάβη πλευρά τετραγώνου a=2

.

Τα

είνα τα μέσα των BC,BE

και η

τέμνει την

στο

(*)

Τα ορθ. τρίγωνα DEC,MON

έχουν αναλογία καθέτων 1:2

άρα είναι όμοια.

Στο ορθ. BEH

Η διάμεσος HN=BE/2=1

. Έτσι οι γωνίες $\theta$ είναι ίσες.

Η διακεντρική

διχοτομεί την $\widehat{CNF}$ , η

είναι εφαπτομένη στον κύκλο συνεπώς η NHF

είναι η ετέρα εφαπτομένη .

(*) Μένει να δείξουμε ότι το

είναι αυτό της αρχικής διατύπωσης. Αρκεί CF=4

.

Έχουμε $\varepsilon \varphi \theta =\dfrac{1}{2}\Rightarrow \varepsilon \varphi 2\theta =\dfrac{2\varepsilon \varphi \theta }{1-\varepsilon \varphi ^2\theta }=\dfrac{4}{3}$ , δηλ $\dfrac{CF}{CN}=\dfrac{4}{3} \Rightarrow CF=4$ . Φιλικά, Γιώργος.

#6

Γιώργος Μήτσιος έγραψε: ↑
Τετ Απρ 14, 2021 1:01 am
Με ιδιαίτερη χαρά ..Καλημερίζω τους φίλους!
14-3 Τετραγωνίσματα!.png
Ας πάρουμε για ευκολία και χωρίς βλάβη πλευρά τετραγώνου .

Τα είνα τα μέσα των και η τέμνει την στο (*)

Τα ορθ. τρίγωνα έχουν αναλογία καθέτων άρα είναι όμοια.

Στο ορθ. Η διάμεσος . Έτσι οι γωνίες $\theta$ είναι ίσες.

Η διακεντρική διχοτομεί την $\widehat{CNF}$ , η είναι εφαπτομένη στον κύκλο συνεπώς η είναι η ετέρα εφαπτομένη .

(*) Μένει να δείξουμε ότι το είναι αυτό της αρχικής διατύπωσης. Αρκεί .

Έχουμε $\varepsilon \varphi \theta =\dfrac{1}{2}\Rightarrow \varepsilon \varphi 2\theta =\dfrac{2\varepsilon \varphi \theta }{1-\varepsilon \varphi ^2\theta }=\dfrac{4}{3}$ , δηλ $\dfrac{CF}{CN}=\dfrac{4}{3} \Rightarrow CF=4$ . Φιλικά, Γιώργος.

Μ άρεσε η λύση σου Γιώργο

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

george visvikis έγραψε: ↑
Τρί Απρ 13, 2021 12:50 pm
Τετραγωνίσματα.png
Το είναι τετράγωνο, τα είναι τα συμμετρικά του ως προς αντίστοιχα και είναι

η προβολή του στην Να δείξετε ότι η εφάπτεται στον εγγεγραμμένο κύκλο του τετραγώνου.

Λόγω εγγραψιμμότητας των BHAD,HBCD

,αυτά έχουν ίδιο περίκυκλο,αυτόν του τετραγώνου κέντρου

Έστω $OP \bot HF$ και $CG \bot ED$ με $CG \cap HF={Q}$ .Θα αποδείξουμε ότι $OP= \dfrac{a}{2}$

Επειδή $\angle DHC=45^0 \Rightarrow \angle HCG=45^0 \Rightarrow CG=GH=HE$

Από την ομοιότητα των τριγώνων $EDC,GDC \Rightarrow \dfrac{CG}{GD} = \dfrac{EC}{CD}=2 \Rightarrow \dfrac{HG}{GD}=2$

Επομένως

είναι κ.βάρους του τριγώνου HFC

,άρα

μέσον της

και

Συνεπώς $\angle DQC= \angle HCQ=45^0$ ,άρα ο κύκλος (A,H,B,C,D)

περνά από το

Τέλος, $\angle HOQ=90^0 \Rightarrow OP= \dfrac{HQ}{2}= \dfrac{CD}{2}= \dfrac{a}{2}$

: τετραγωνίσματα.png (33.28 KiB) Προβλήθηκε 402 φορές

Τετραγωνίσματα

Τετραγωνίσματα

Re: Τετραγωνίσματα

Re: Τετραγωνίσματα

Re: Τετραγωνίσματα

Re: Τετραγωνίσματα

Re: Τετραγωνίσματα

Re: Τετραγωνίσματα

Μέλη σε σύνδεση