Μήκος προβολής

#1

Με αφορμή αυτήν

: Μήκος προβολής.png (10.95 KiB) Προβλήθηκε 550 φορές

Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο ABC(AB=AC)

και

το μέσο της BC.

Γράφω μεταβλητό κύκλο που διέρχεται από

τα σημεία A, M

και τέμνει τις AB, AC

στα

αντίστοιχα. Να βρείτε το μήκος

της προβολής του

στην

χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν λιγότερα από τα πρωτεύοντα στοιχεία του τριγώνου ABC.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

george visvikis έγραψε: ↑
Δευ Απρ 12, 2021 11:36 am
Με αφορμή αυτήν Μήκος προβολής.png
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο και το μέσο της Γράφω μεταβλητό κύκλο που διέρχεται από

τα σημεία και τέμνει τις στα αντίστοιχα. Να βρείτε το μήκος της προβολής του στην

χρησιμοποιώντας όσο το δυνατόν λιγότερα από τα πρωτεύοντα στοιχεία του τριγώνου

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Αν σας εντυπωσίασε η σταθερότητα του περιμένετε να δείτε την γενίκευση που θα ακολουθήσει...

Ας είναι

το, άλλο, σημείο τομής της

με τον κύκλο.

Ισχύουν : $\left\{ \begin{gathered} \frac{{SM}}{{BM}} = \frac{{AE}}{b} \hfill \\ \frac{{MT}}{{MC}} = \frac{{AF}}{B} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και επειδή 2BM = 2MC = a

προσθέτω κατά μέλη , κι έχω:

$\boxed{ST = \frac{a}{{2b}}\left( {AE + AF} \right)\,\,\left( 1 \right)}$

Επίσης ισχύουν: $\left\{ \begin{gathered} BM \cdot BD = b \cdot BE \hfill \\ CM \cdot CD = b \cdot CF \hfill \\ \end{gathered} \right.$ κι εδώ προσθέτω κι έχω:

: Μήκος προβολής.png (24.02 KiB) Προβλήθηκε 456 φορές

$\left( {2b - \left( {AE + AF} \right)} \right)b = \dfrac{{{a^2}}}{2} \Rightarrow AE + AF = \dfrac{{4{b^2} - {a^2}}}{{2b}}$ και η $\left( 1 \right)$ δίδει: $\boxed{ST = \dfrac{{a\left( {4{b^2} - {a^2}} \right)}}{{4{b^2}}}}$ . Η σχέση, νομίζω , γράφεται : $\boxed{ST = a\left( {1 - {{\cos }^2}B} \right)}$

nickchalkida · #3

Έστω

το άλλο σημείο τομής της

με τον κύκλο, τότε είναι

$\displaystyle{ \left. \begin{aligned} & BE \cdot BA = BM \cdot BP \cr & CF \cdot CA = CM \cdot CP \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow {BP \over BE} = {CP \over CF} }$

έτσι τα τρίγωνα BEP

,

είναι όμοια και κατ' ακολουθία όλες οι προφανείς ομοιότητες εκ του σχήματος. οπότε είναι

$\displaystyle{ \begin{aligned} & {BP \over SP} = {CP \over PT} \rightarrow {BP \over CP} = {SP \over PT} \rightarrow {BP+PC \over CP} = {SP+PT \over PT} \rightarrow \cr & \rightarrow {BC \over CP} = {ST \over PT} \rightarrow ST = a \cdot {PT \over PC} = a \cdot {PT \over PF}{PF \over PC} = a \cdot \cos^2 \left( {A \over 2} \right ) \cr \end{aligned} }$

Μήκος προβολής

Μήκος προβολής

Re: Μήκος προβολής

Re: Μήκος προβολής

Μέλη σε σύνδεση