Λόγω πολλών επαφών

KARKAR · #1

: Λόγω πολλών επαφών.png (12.79 KiB) Προβλήθηκε 231 φορές

Η ακτίνα του τεταρτοκυκλίου είναι

. Μεταξύ των διαφόρων καμπυλών ότι φαίνεται ως επαφή , είναι ... επαφή .

Το τμήμα

, (

μέσο της

) , επίσης εφάπτεται του κύκλου . Υπολογίστε το

( συναρτήσει της

) .

nickchalkida · #2

Υπολογίζω διαδοχικά

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \tan a = {1 \over 3}, \ \cos a = {3 \over \sqrt{10}}, \ \sin a = {1 \over \sqrt{10}} \cr & DU=R\cos a = {3R \over \sqrt{10}}, \ UI=R\sin a = {R \over \sqrt{10}} \cr & DA^2 = DU^2 +UI^2 \rightarrow DA = {\sqrt{10}R \over 2} \cr & UA=DA-DU = {3R \over \sqrt{10}}, \ {DU/UA} = {3\over 2} \cr & {DI \over PA} = {3\over 2} \rightarrow NA = {R\over 3} \cr \end{aligned} }$

Παρόμοια αποδεικνύω ότι $KI = {R\over 6}$ . Τότε

$\displaystyle{ \begin{aligned} & MC^2 = MI \cdot MF \rightarrow MC = {R \over 2}\sqrt{{5 \over 3}} \cr & \left. \begin{aligned} & y = {x \over \sqrt{15}} \cr & x^2 + y^2 = R^2 \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow x = {3\sqrt{15} R \over 16}, \ y={11 R \over 16}, \ SR = {3R \over 16}, \ \tan b = {1 \over \sqrt{15}} \cr & MS^2 = MR^2 + SR^2 \rightarrow MS = {3 \over 4} R \cr \end{aligned} }$

#3

Πρώτα η κατασκευή του σχήματος.

: Λόγω πολλών επαφών.png (19.22 KiB) Προβλήθηκε 119 φορές

Γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου OB.

Επί της ακτίνας

θεωρώ τα σημεία N, P

ώστε $NA=NP=\dfrac{R}{3}$ και

γράφω το ημικύκλιο διαμέτρου AP.

Από το

υψώνω κάθετο στην

που τέμνει τη μεσοκάθετο του

στο

Τέλος, γράφω τον κύκλο $\displaystyle \left( {K,\frac{R}{6}} \right)$ και ολοκληρώνεται η κατασκευή.

Απόδειξη: $\displaystyle OM = \frac{R}{2} = \frac{R}{3} + \frac{R}{6} = NK$ και $\displaystyle ON = \frac{{2R}}{3} = \frac{R}{2} + \frac{R}{6} = MK,$ άρα ο κύκλος (K)

εφάπτεται

εξωτερικά στα δύο ημικύκλια. Εξάλλου, με Π.Θ στο OMN

βρίσκω $\displaystyle MN = \frac{{5R}}{6} = \frac{R}{2} + \frac{R}{3},$ που σημαίνει ότι τα

δύο ημικύκλια εφάπτονται εξωτερικά μεταξύ τους. Τέλος, $\displaystyle OK = MN = \frac{{5R}}{6} = R - \frac{R}{6},$ οπότε κύκλος (K)

εφάπτεται εσωτερικά στο τεταρτοκύκλιο και ολοκληρώνεται η απόδειξη.

#4

nickchalkida έγραψε: ↑
Τετ Απρ 07, 2021 9:26 pm
Υπολογίζω διαδοχικά

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \tan a = {1 \over 3}, \ \cos a = {3 \over \sqrt{10}}, \ \sin a = {1 \over \sqrt{10}} \cr & DU=R\cos a = {3R \over \sqrt{10}}, \ UI=R\sin a = {R \over \sqrt{10}} \cr & DA^2 = DU^2 +UI^2 \rightarrow DA = {\sqrt{10}R \over 2} \cr & UA=DA-DU = {3R \over \sqrt{10}}, \ {DU/UA} = {3\over 2} \cr & {DI \over PA} = {3\over 2} \rightarrow NA = {R\over 3} \cr \end{aligned} }$

Παρόμοια αποδεικνύω ότι $KI = {R\over 6}$ . Τότε

$\displaystyle{ \begin{aligned} & MC^2 = MI \cdot MF \rightarrow MC = {R \over 2}\sqrt{{5 \over 3}} \cr & \left. \begin{aligned} & y = {x \over \sqrt{15}} \cr & x^2 + y^2 = R^2 \cr \end{aligned} \right\} \rightarrow x = {3\sqrt{15} R \over 16}, \ y={11 R \over 16}, \ SR = {3R \over 16}, \ \tan b = {1 \over \sqrt{15}} \cr & MS^2 = MR^2 + SR^2 \rightarrow MS = {3 \over 4} R \cr \end{aligned} }$

Επειδή μας διαβάζουν κυρίως μαθητές, καλό είναι να είμαστε σαφείς σε αυτά που γράφουμε, ώστε να γινόμαστε κατανοητοί. Υπάρχουν πολλά πράγματα εδώ που δεν καταλαβαίνω:

1) Στην αρχή εμφανίζεται μία σχέση $\displaystyle \tan a = \frac{1}{3}.$ Αλλά η γωνία

δεν φαίνεται στο σχήμα, ούτε και ορίζεται στη λύση.

2) Στη συνέχεια εμφανίζονται από το πουθενά δύο μεταβλητές x, y,

που επίσης δεν φαίνονται στο σχήμα ούτε και ορίζονται στη λύση.

3) Τέλος στην εκφώνηση έχει δοθεί η ακτίνα

του τεταρτοκυκλίου, αλλά στο σχήμα υπάρχει και ένα γράμμα με το ίδιο σύμβολο

καθώς επίσης και μία σχέση $\displaystyle SR = \frac{{3R}}{{16}},$ που αν δεχτούμε την εκφώνηση θα πρέπει το γράμμα

να πάρει την τιμή $\dfrac{3}{16}.$

#5

KARKAR έγραψε: ↑
Τρί Απρ 06, 2021 8:01 pm
Λόγω πολλών επαφών.pngΗ ακτίνα του τεταρτοκυκλίου είναι . Μεταξύ των διαφόρων καμπυλών ότι φαίνεται ως επαφή , είναι ... επαφή .

Το τμήμα , ( μέσο της ) , επίσης εφάπτεται του κύκλου . Υπολογίστε το ( συναρτήσει της ) .

Στην άσκησή μας τώρα.

Έστω

το σημείο επαφής της εφαπτομένης

με τον κύκλο (K).

Θέτω

: Λόγω πολλών επαφών.β.png (19.91 KiB) Προβλήθηκε 73 φορές

Έχει ήδη αποδειχθεί πιο πάνω ότι $\displaystyle MK = \frac{{2R}}{3},KT = \frac{R}{6} \Rightarrow \sin \theta = \frac{1}{4}$ και με νόμο συνημιτόνου στο OMS:

$\displaystyle {R^2} = \frac{{{R^2}}}{4} + {x^2} - Rx\cos (90^\circ + \theta ) \Leftrightarrow 3{R^2} = 4{x^2} + 4Rx\sin \theta \Leftrightarrow$

$\displaystyle 4{x^2} + Rx - 3{R^2} = 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{x > 0}$ $\boxed{x=MS=\frac{3R}{4}}$

Λόγω πολλών επαφών

Λόγω πολλών επαφών

Re: Λόγω πολλών επαφών

Re: Λόγω πολλών επαφών

Re: Λόγω πολλών επαφών

Re: Λόγω πολλών επαφών

Μέλη σε σύνδεση